Considere a matriz
Em que
theta neq k pi, k in Z e seja um vetor arbitrário ,
v=(lx y z) .
Determine:
c) os autovalores e autovetores da matriz
Rtheta
Determine:
c) os autovalores e autovetores da matriz
Passo 1
O enunciado dá a matriz de rotação em
R^3 no plano
xy ,
com
thetaneq kpi . Queremos encontrar todos os autovalores
lambda e os correspondentes autovetores
v .
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos o determinante característico:
Como é bloco diagonal (
2times 2 ) e um elemento
1-lambda , temos
Passo 3
Calculemos as raízes do fator
2times 2 :
As soluções são
Do fator
1-lambda=0 vem o autovalor real
Passo 4
Para
As duas primeiras equações forçam fica livre. Portanto um autovetor associado é
Passo 5
Para
Como . Das duas primeiras obtém-se
Passo 6
Para
, pela conjugação, o autovetor é
Resposta
Os autovalores são
com autovetores correspondentes