Considere a matriz
A=(ccc cos theta-sin theta 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 )
Em que theta neq k pi, k in Z e seja um vetor arbitrário , v=(lx y z).
Determine:
c) os autovalores e autovetores da matriz Rtheta

Passo 1

O enunciado dá a matriz de rotação em R^3 no plano xy,
Rtheta = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1 ,
com thetaneq kpi. Queremos encontrar todos os autovalores lambda e os correspondentes autovetores v.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o determinante característico:
det(Rtheta-lambda I) =det! costheta-lambda & -sintheta & 0 sintheta & costheta-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda
Como é bloco diagonal ( 2times 2) e um elemento 1-lambda, temos
det(Rtheta-lambda I) =l[(costheta-lambda)^2+sin^2thetar],(1-lambda)

Passo 3

Calculemos as raízes do fator 2times 2:
(costheta-lambda)^2+sin^2theta =lambda^2-2lambdacostheta+1=0
As soluções são
lambda=costhetapm isintheta =e^pm itheta
Do fator 1-lambda=0 vem o autovalor real
lambda=1

Passo 4

Para
As duas primeiras equações forçam fica livre. Portanto um autovetor associado é

Passo 5

Para
Como . Das duas primeiras obtém-se
. Escolhendo , temos o autovetor

Passo 6

Para , pela conjugação, o autovetor é

Resposta

Os autovalores são
com autovetores correspondentes

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