Seja A=(cc0 & 1 -1 & 1).
Calcule A^2, A^3, A^7

Passo 1

O enunciado pede para calcular as potências da matriz
A = 0 & 1[-6pt] -1 & 1
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e uso de propriedades de potências (associatividade e, posteriormente, identificação de um padrão ciclíco) para simplificar o cálculo de A^7.]

Passo 2

Para encontrar A^2 usamos a definição de produto de matrizes:
A^2 = A cdot A = 0 & 1[-4pt] -1 & 1 0 & 1[-4pt] -1 & 1
Calculando elemento a elemento:
(A^2)11 = 0cdot0 + 1cdot(-1) = -1, (A^2)12 = 0cdot1 + 1cdot1 = 1,
(A^2)21 = -1cdot0 + 1cdot(-1) = -1, (A^2)22 = -1cdot1 + 1cdot1 = 0
Logo,
A^2 = -1 & 1[-4pt] -1 & 0 ]

Passo 3

Para A^3 multiplicamos A por A^2:
A^3 = A cdot A^2 = 0 & 1[-4pt] -1 & 1 -1 & 1[-4pt] -1 & 0
Calculando:
(A^3)11 = 0cdot(-1) + 1cdot(-1) = -1, (A^3)12 = 0cdot1 + 1cdot0 = 0,
(A^3)21 = -1cdot(-1) + 1cdot(-1) = 1 -1 = 0, (A^3)22 = -1cdot1 + 1cdot0 = -1
Portanto
A^3 = -1 & 0[-4pt] 0 & -1 = -I ]

Passo 4

Como A^3 = -I, aproveitamos a associatividade para escrever
A^7 = A^3cdot2 +1 = (A^3)^2 ,A = (-I)^2,A = I;A = A
Assim encontramos A^7 de forma imediata sem multiplicar repetidamente.

Resposta

A^2 = -1 & 1[-4pt] -1 & 0, A^3 = -1 & 0[-4pt] 0 & -1, A^7 = 0 & 1[-6pt] -1 & 1 ]

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