Considere a matriz
A=(ccc cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 )
Em que theta neq k pi, k in Z e seja um vetor arbitrário , v=(lx y z).
Determine:
c) os autovalores e autovetores da matriz Rtheta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz de rotação Rtheta. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes de rotação, autovalores e autovetores. Basicamente, autovalores são números que nos dizem como o vetor é esticado ou encolhido quando aplicamos a matriz, e os autovetores são os vetores que não mudam de direção quando essa transformação acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar os autovalores de uma matriz. Precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde A é a matriz dada, lambda são os autovalores, e I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa matriz de rotação Rtheta:
Rtheta = cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1
Subtraindo lambda I:
Rtheta - lambda I = cos theta - lambda & -sin theta & 0 sin theta & cos theta - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(Rtheta - lambda I) = (1 - lambda) cdot det cos theta - lambda & -sin theta sin theta & cos theta - lambda
Calculando o determinante da matriz 2 times 2:
det cos theta - lambda & -sin theta sin theta & cos theta - lambda = (cos theta - lambda)^2 + sin^2 theta

Passo 5

Simplificando a expressão:
(cos theta - lambda)^2 + sin^2 theta = cos^2 theta - 2 cos theta lambda + lambda^2 + sin^2 theta
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então:
1 - 2 cos theta lambda + lambda^2
Portanto, a equação característica fica:
(1 - lambda)(lambda^2 - 2 cos theta lambda + 1) = 0

Passo 6

Resolvendo a equação:
(1 - lambda)(lambda^2 - 2 cos theta lambda + 1) = 0
Isso nos dá um autovalor imediatamente:
lambda = 1
Para os outros autovalores, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - 2 cos theta lambda + 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 2 cos theta pm raiz(2 cos theta)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 = cos theta pm i sin theta
Então, os autovalores são:
lambda = 1, lambda = cos theta + i sin theta, lambda = cos theta - i sin theta

Passo 7

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Primeiro, para lambda = 1:
Resolvemos (Rtheta - I)v = 0:
cos theta - 1 & -sin theta & 0 sin theta & cos theta - 1 & 0 0 & 0 & 0 x y z = 0 0 0
Isso nos leva ao sistema:
(cos theta - 1)x - sin theta y = 0 sin theta x + (cos theta - 1)y = 0 0z = 0
Para theta neq kpi, isso implica que z pode ser qualquer número, e x = y = 0. Então, o autovetor é:
v = 0 0 1

Passo 8

Os outros autovalores são complexos, lambda = cos theta pm i sin theta. Encontrar os autovetores correspondentes envolve trabalhar com números complexos. Vamos considerar lambda = cos theta + i sin theta:
Resolvemos (Rtheta - lambda I)v = 0:
cos theta - lambda & -sin theta & 0 sin theta & cos theta - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda x y z = 0 0 0
Isso simplifica para encontrar uma relação entre x e y. Após resolver, obtemos os autovetores na forma:
v = 1 i 0 e v = 1 -i 0

Resposta

Os autovalores da matriz Rtheta são:
lambda = 1, lambda = cos theta + i sin theta, lambda = cos theta - i sin theta
E os respectivos autovetores são:
v = 0 0 1 , v = 1 i 0 , v = 1 -i 0

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