Seja A=(cc0 & 1 -1 & 1).
Use 9(a) para achar A^400 e A^2001

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & 1 -1 & 1
e pede A^400 e A^2001. Vamos usar o resultado de 9(a), que é a aplicação do Teorema de Cayley– Hamilton para esta matriz, cuja equação característica é
lambda^2 - lambda + 1 = 0

Passo 2

Pela equação característica de A, temos
A^2 - A + I = 0,
ou seja
A^2 = A - I
Multiplicando ambos os lados por A^n, obtemos a relação de recorrência
A^n+2 = A^n+1 - A^n

Passo 3

As raízes da equação lambda^2 - lambda + 1=0 são lambda=e^pm ipi/3, que satisfazem lambda^6=1. Logo A^6=I e, por periodicidade,
A^n = A^,n bmod 6

Passo 4

Calculate os restos de 400 e 2001 na divisão por 6:
400 bmod 6 = 4, 2001 bmod 6 = 3
Portanto
A^400 = A^4, A^2001 = A^3

Passo 5

Calculemos A^2, A^3 e A^4:
A^2 = A - I = -1 & 1 -1 & 0,
A^3 = A^2,A = -1 & 1 -1 & 0 0 & 1 -1 & 1 = -1 & 0 0 & -1 = -I,
A^4 = A^3,A = (-I),A = -A = 0 & -1 1 & -1

Resposta

A^400 = 0 & -1 1 & -1, A^2001 = -1 & 0 0 & -1

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