Considere a matriz
em que
theta neq k pi, k in Z e seja um vetor arbitrário
v=(lx y z) .
Determine:
c) os autovalores e autovetores da matriz
Rtheta
Determine:
c) os autovalores e autovetores da matriz
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz de rotação em
R^3
supondo
thetaneq kpi . O conteúdo necessário é o cálculo do polinômio característico
det(Rtheta-lambda I) e, a partir dele, a resolução de
(Rtheta-lambda I) v=0 .
Passo 2
Calculamos o determinante
Como é bloco-diagonal em termos dos dois primeiros e do terceiro bloco,
Passo 3
O determinante do bloco
2times2 é
Logo o polinômio característico é
Passo 4
As raízes são
Passo 5
Para
As duas primeiras forçam ou
), e a última deixa
livre.
Logo o autovetor é todo múltiplo de
Passo 6
Para
lambda2=e^itheta ou
lambda3=e^-itheta temos sempre
z=0 e o sistema no plano
xy :
Se
lambda=e^itheta=costheta+isintheta , então
costheta-lambda=-isintheta e
dando o autovetor
l(1,-i,0r)^T .
Analogamente, paralambda=e^-itheta vem
costheta-lambda=+isintheta e
Analogamente, para
autovetor
l(1,i,0r)^T .
Resposta
Os autovalores e autovetores de
Rtheta são: