Considere a matriz
Rtheta=(ccc cos theta & -sen theta & 0 sen theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 ),
em que theta neq k pi, k in Z e seja um vetor arbitrário v=(lx y z).
Determine:
c) os autovalores e autovetores da matriz Rtheta

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz de rotação em R^3
Rtheta = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1 ,
supondo thetaneq kpi. O conteúdo necessário é o cálculo do polinômio característico det(Rtheta-lambda I) e, a partir dele, a resolução de (Rtheta-lambda I) v=0.

Passo 2

Calculamos o determinante
det(Rtheta-lambda I) =det! costheta-lambda & -sintheta & 0 sintheta & costheta-lambda& 0 0 & 0 & 1-lambda
Como é bloco-diagonal em termos dos dois primeiros e do terceiro bloco,
det(Rtheta-lambda I) =(1-lambda),det costheta-lambda & -sintheta sintheta & costheta-lambda

Passo 3

O determinante do bloco 2times2 é
(costheta-lambda)^2+(sintheta)^2 =lambda^2-2costheta,lambda+1
Logo o polinômio característico é
det(Rtheta-lambda I) =(1-lambda)l(lambda^2-2costheta,lambda+1r)

Passo 4

As raízes são
lambda1=1, lambda2,3=2costhetapmraiz4cos^2theta-42 =costhetapm isintheta =e^pm itheta

Passo 5

Para
As duas primeiras forçam ou ), e a última deixa livre.
Logo o autovetor é todo múltiplo de

Passo 6

Para lambda2=e^itheta ou lambda3=e^-itheta temos sempre z=0 e o sistema no plano xy:
(costheta-lambda)x-sintheta,y=0
Se lambda=e^itheta=costheta+isintheta, então
costheta-lambda=-isintheta e
y=costheta-lambdasintheta,x=-,i,x,
dando o autovetor
l(1,-i,0r)^T.
Analogamente, para lambda=e^-itheta vem
costheta-lambda=+isintheta e
y=+,i,x,
autovetor
l(1,i,0r)^T.

Resposta

Os autovalores e autovetores de Rtheta são:
lambda1=1, com autovetores t,(0,0,1)^T, tinR.
lambda2=e^itheta=costheta+isintheta, com autovetor (1,-i,0)^T.
lambda3=e^-itheta=costheta-isintheta, com autovetor (1,i,0)^T.

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