Considere A uma matriz simétrica de ordem 2. Mostre que as raízes do polinômio característico de A são reais.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se
A=a & b b & d
é uma matriz simétrica de ordem 2 (com a,b,dinR), então as raízes do seu polinômio característico são números reais. Vamos usar definição de polinômio característico, expandir o determinante e analisar o discriminante da equação quadrática resultante.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico de A como
det(A - lambda I) = deta-lambda & b [6pt] b & d-lambda = (a-lambda)(d-lambda)-b^2 ]

Passo 3

Expandindo, obtemos a equação quadrática em lambda:
det(A - lambda I) = lambda^2 - (a+d),lambda + (ad - b^2)

Passo 4

O discriminante dessa equação é
De<a = (a+d)^2 - 4,(ad - b^2) = a^2 + 2ad + d^2 - 4ad + 4b^2 = (a-d)^2 + 4b^2
Como (a-d)^2>=0 e 4b^2>=0, segue que De<a>=0.

Passo 5

Uma equação quadrática com discriminante não negativo tem raízes reais. Logo as raízes do polinômio característico de A são
lambda1,2 = (a+d)pm raizDe<a2 = (a+d)pm raiz(a-d)^2 + 4b^22,
todas reais.

Resposta

As raízes do polinômio característico de A são
lambda1,2 = (a+d)pm raiz(a-d)^2 + 4b^22,
e como (a-d)^2+4b^2>=0, ambas são números reais.

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