Considere
uma matriz simétrica de ordem 2. Mostre que as raízes do polinômio característico de
são reais.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é uma matriz simétrica de ordem
(com
), então as raízes do seu polinômio característico são números reais. Vamos usar definição de polinômio característico, expandir o determinante e analisar o discriminante da equação quadrática resultante.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico de
como
Passo 3
Expandindo, obtemos a equação quadrática em
:
Passo 4
O discriminante dessa equação é
Como
e
, segue que
.
Passo 5
Uma equação quadrática com discriminante não negativo tem raízes reais. Logo as raízes do polinômio característico de
são
todas reais.
Resposta
As raízes do polinômio característico de
são
e como
, ambas são números reais.