Sejam
e
bases ortonormais de um espaço vetorial euclidiano
e um operador linear
. Mostre que se
é simétrica então
também é simétrica.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço euclidiano
, duas bases ortonormais
e
e um operador linear
. Sabemos que a matriz de
na base
, ou seja
é simétrica. Queremos mostrar que a matriz de
na outra base ortonormal
, isto é
também é simétrica. Para isso vamos usar a mudança de base entre duas bases ortonormais, que gera uma matriz ortogonal.
Passo 2
Seja
a matriz de mudança de coordenadas de
para
. Mais precisamente, para qualquer vetor
temos
Como
e
são ortonormais,
é ortogonal, ou seja
Passo 3
Pela regra de mudança de base, a matriz de
em
relaciona-se com a de
assim:
Passo 4
Vamos ver a transposta dessa matriz em
:
Como
é simétrica, temos
. Logo
Passo 5
Concluímos que
coincide com a sua transposta, ou seja, é simétrica.
Resposta
A matriz
também é simétrica.