Sejam F e B bases ortonormais de um espaço vetorial euclidiano V e um operador linear T: V V. Mostre que se [T]F^F é simétrica então [T]B^B também é simétrica.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço euclidiano V, duas bases ortonormais F e B e um operador linear TcolonVtoV. Sabemos que a matriz de T na base F, ou seja
[T]F^F,
é simétrica. Queremos mostrar que a matriz de T na outra base ortonormal B, isto é
[T]B^B,
também é simétrica. Para isso vamos usar a mudança de base entre duas bases ortonormais, que gera uma matriz ortogonal.

Passo 2

Seja P a matriz de mudança de coordenadas de B para F. Mais precisamente, para qualquer vetor v temos
[v]F ;=; P,[v]B
Como F e B são ortonormais, P é ortogonal, ou seja
P^-1 ;=; P^T

Passo 3

Pela regra de mudança de base, a matriz de T em B relaciona-se com a de F assim:
[T]B^B ;=; P^-1,[T]F^F,P ;=; P^T,[T]F^F,P

Passo 4

Vamos ver a transposta dessa matriz em B:
l([T]B^Br)^T =l(P^T,[T]F^F,Pr)^T = P^T,l([T]F^Fr)^T,P
Como [T]F^F é simétrica, temos l([T]F^Fr)^T=[T]F^F. Logo
l([T]B^Br)^T = P^T,[T]F^F,P = [T]B^B

Passo 5

Concluímos que [T]B^B coincide com a sua transposta, ou seja, é simétrica.

Resposta

A matriz [T]B^B também é simétrica.

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