Seja
um operador linear.
Se
não é injetora, mostre que
é autovalor de
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que
é um operador linear que não é injetora, e pede para mostrar que
é autovalor de
. Para isso vamos usar as definições de núcleo, injetividade e autovalor.
Passo 2
Lembrando que o núcleo de
é
e que
é injetora se, e somente se,
. Como
não é injetora, concluímos que
ou seja, existe algum vetor
tal que
Passo 3
Por definição,
é autovalor de
se existe vetor
com
No caso que encontramos,
, que equivale a
Logo
é autovetor associado a
, provando que
é autovalor de
.