Seja T: V V um operador linear.
Se T não é injetora, mostre que lambda=0 é autovalor de T.

Passo 1

O enunciado afirma que Tcolon VtoV é um operador linear que não é injetora, e pede para mostrar que lambda=0 é autovalor de T. Para isso vamos usar as definições de núcleo, injetividade e autovalor.

Passo 2

Lembrando que o núcleo de T é
ker(T)=,vinVmid T(v)=0,
e que T é injetora se, e somente se, ker(T)=0. Como T não é injetora, concluímos que
ker(T)neq0,
ou seja, existe algum vetor vneq0 tal que
T(v)=0

Passo 3

Por definição, lambda é autovalor de T se existe vetor vneq0 com
T(v)=lambda,v
No caso que encontramos, T(v)=0, que equivale a
T(v)=0cdot v
Logo v é autovetor associado a lambda=0, provando que 0 é autovalor de T.

Resposta

lambda=0 é autovalor de T.

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