Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
l3 x+2 y-4 z=1 x-y+z=3 x-y-3 z=-3

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
3x+2y-4z=1, x-y+z=3, x-y-3z=-3,
e pede para usar eliminação de Gauss, reduzindo a matriz aumentada à forma escalonada, identificar o posto da matriz de coeficientes A, o posto da matriz aumentada (Amid b) e, se possível, o grau de liberdade, além de resolver o sistema.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial
[ccc|c 3 & 2 & -4 & 1 1 & -1 & 1 & 3 1 & -1 & -3 & -3 ]
Em seguida, aplicamos operações elementares em linhas para obter a forma escalonada.

Passo 3

Primeiro trocamos R1rightarrowR2 para ter pivô 1 no canto superior esquerdo, e depois eliminamos os elementos abaixo dele por
R2 R2-3,R1, R3 R3-R1
Isso produz
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 3 0 & 5 & -7 & -8 0 & 0 & -4 & -6 ],
que já está em forma escalonada de linhas.

Passo 4

Na forma escalonada temos pivôs não nulos em (1,1), (2,2) e (3,3). Logo
posto(A)=3
Não aparece nenhuma linha do tipo [0;0;0mid c] com cneq0, então
posto(Amid b)=3
Como o número de incógnitas é n=3, o grau de liberdade é
n-posto(A)=3-3=0
Portanto o sistema é possível e determinado.

Passo 5

Fazendo substituição retroativa da forma escalonada:
da terceira linha -4z=-6 vem
z=-6-4=32,
da segunda linha 5y-7z=-8 vem
5y-7cdot32=-8 Rightarrow 5y=5;Rightarrow y=12,
e da primeira linha x-y+z=3 obtemos
x-12+32=3 Rightarrow x=2
Assim a solução é l(x,y,zr)=(2,tfrac12,tfrac32).

Resposta

Matriz aumentada em forma escalonada:
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 3 0 & 5 & -7 & -8 0 & 0 & -4 & -6 ]
posto(A)=posto(Amid b)=3, grau de liberdade 0, solução (2,tfrac12,tfrac32).

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