Seja T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} um operador diagonalizável, ou seja, existe uma base B=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} de \mathbb{R}^{n} formada pelos autovetores de B. As colunas da matriz M é formada pelas coordenadas dos vetores v_{i} e, além disso, (T)_{C}=M(T)_{B} M^{-1}, em que (T)_{C} é matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^{n}. Para cada matriz abaixo, encontre (se poissível) a matriz M.
(T)_{C}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 4 \\\\ 3 & -4 & 12 \\\\ 1 & -2 & 5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz M tal que
(T)_C \;=\; M\,(T)_B\,M^{-1},
sendo (T)_C dada na base canônica e (T)_B diagonal (pois T é diagonalizável). Em outras palavras, precisamos achar uma base de autovetores de
A \;=\;(T)_C \;=\;\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4\\\\ 3 & -4 & 12\\\\ 1 & -2 & 5 \end{pmatrix},
e então montar M cujas colunas sejam esses autovetores.

Passo 2

Para diagonalizar, primeiro encontramos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 4\\\\ 3 & -4-\lambda & 12\\\\ 1 & -2 & 5-\lambda \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão, chega-se a
\det(A - \lambda I) =\,-\lambda^3 +3\lambda^2 -2\lambda =\,-\lambda(\lambda-1)(\lambda-2).
Logo, os autovalores são
\lambda_1=0,\quad \lambda_2=1,\quad \lambda_3=2,
todos distintos, garantindo diagonalização.

Passo 3

Agora, para cada \lambda\) resolvemos \((A - \lambda I)v=0\). Para \(\lambda_1=0\): \[\begin{cases} 2x + 4z = 0,\\\\ 3x - 4y +12z = 0,\\\ x -2y +5z = 0. \end{cases}
Da 1ª: x = -2z\]. Substituindo na 2ª: \(-6z -4y +12z=0\Rightarrow y=\tfrac{3}{2}z. A 3ª é redundante. Tomando z=2 para evitar frações, obtemos o autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}-4\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda_2=1\): \[\begin{cases} (x+4z)=0,\\\\ 3x -5y +12z=0,\\\ x -2y +4z=0. \end{cases}
Da 1ª: x=-4z\]. Na 2ª: \[-12z -5y +12z=0\Rightarrow y=0. A 3ª confirma. Tomando z=1, obtemos
v_2 = \begin{pmatrix}-4\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_3=2:
\begin{cases} 4z=0,\\\\ 3x -6y=0,\\\ x -2y +3z=0. \end{cases}
Da 1ª: z=0\]. Da 2ª: \(x=2y. A 3ª confirma. Tomando y=1, obtemos
v_3 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Como escolher M com colunas v_1,v_2,v_3, temos
M = \begin{pmatrix} -4 & -4 & 2\\\\ 3 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix},
satisfazendo A = M\,\operatorname{diag}(0,1,2)\,M^{-1}.

Resposta

M = \begin{pmatrix} -4 & -4 & 2\\\\ 3 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados