Considere a matriz At=[ccc1 & t & 0 0 & 1 & t t & 0 & 1], t in R.
Use o escalonamento para determinar os valores de t in R para os quais o sistema
At[l x y z ]=[l 1 2 3 ]
Para o caso de solução única, forneça a solução explícita.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema usando escalonamento! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz At que depende de um parâmetro t , e queremos descobrir para quais valores de t o sistema At x y z = 1 2 3 tem uma solução única. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de álgebra linear, como determinantes e escalonamento de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema, que combina a matriz At com o vetor das constantes:
[ccc|c 1 & t & 0 & 1 0 & 1 & t & 2 t & 0 & 1 & 3 ]

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz aumentada em uma forma mais simples, onde possamos identificar se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Isso é feito através de operações de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por uma constante e somar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 4

Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro pivô (que já é 1 na primeira linha). Para isso, vamos eliminar o t na terceira linha. Subtraímos t vezes a primeira linha da terceira linha:
L3 = L3 - t cdot L1
Isso resulta na matriz:
[ccc|c 1 & t & 0 & 1 0 & 1 & t & 2 0 & -t^2 & 1 & 3 - t ]

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos eliminar o elemento abaixo do pivô (que é 1 na segunda linha). Para isso, somamos t^2 vezes a segunda linha à terceira linha:
L3 = L3 + t^2 cdot L2
A matriz fica assim:
[ccc|c 1 & t & 0 & 1 0 & 1 & t & 2 0 & 0 & 1 + t^3 & 3 - t + 2t^2 ]

Passo 6

Agora, observamos que a terceira linha nos dá a equação:
(1 + t^3)z = 3 - t + 2t^2
Para que o sistema tenha uma solução única, o coeficiente de z não pode ser zero, ou seja:
1 + t^3 neq 0 implies t^3 neq -1 implies t neq -1
Então, para t neq -1 , o sistema tem uma solução única.

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema para t neq -1 . Começamos pela terceira equação:
z = 3 - t + 2t^21 + t^3
Em seguida, usamos a segunda equação para encontrar y :
y + t z = 2 implies y = 2 - t z
Substituímos z :
y = 2 - t ( 3 - t + 2t^21 + t^3 ) = 2(1 + t^3) - t(3 - t + 2t^2)1 + t^3 = 2 + 2t^3 - 3t + t^2 - 2t^31 + t^3 = 2 - 3t + t^21 + t^3
Finalmente, usamos a primeira equação para encontrar x :
x + t y = 1 implies x = 1 - t y
Substituímos y :
x = 1 - t ( 2 - 3t + t^21 + t^3 ) = 1(1 + t^3) - t(2 - 3t + t^2)1 + t^3 = 1 + t^3 - 2t + 3t^2 - t^31 + t^3 = 1 - 2t + 3t^21 + t^3

Resposta

Para todo t in R diferente de t = -1 , o sistema tem solução única, dada por:
x = dfrac1 - 2t + 3t^21 + t^3 y = dfrac2 - 3t + t^21 + t^3 z = dfrac3 - t + 2t^21 + t^3

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