Considere a matriz At=[ccc1 & t & 0 0 & 1 & t t & 0 & 1], t in R.
Use o escalonamento para determinar os valores de t in R para os quais o sistema
At[l x y z ]=[l 1 2 3 ]
tem nenhuma solução.

Passo 1

Neste exercício, temos uma matriz At e um sistema linear Atx = b , onde b = 1 2 3 . O conteúdo envolve álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares utilizando escalonamento de matrizes. Para resolver, vamos aplicar operações nas linhas da matriz aumentada para descobrir os valores de t que fazem com que o sistema não tenha solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 1 & t & 0 & 1 0 & 1 & t & 2 t & 0 & 1 & 3 ]

Passo 3

Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)). Para isso, subtraímos t vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - t times Linha 1
Isso resulta na matriz:
[ccc|c 1 & t & 0 & 1 0 & 1 & t & 2 0 & -t^2 & 1 & 3 - t ]

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento -t^2 na posição (3,2). Para isso, adicionamos t^2 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + t^2 times Linha 2
A matriz fica assim:
[ccc|c 1 & t & 0 & 1 0 & 1 & t & 2 0 & 0 & 1 + t^3 & 3 - t + 2t^2 ]

Passo 5

Observamos que a última linha representa a equação (1 + t^3)z = 3 - t + 2t^2 . Para o sistema não ter solução, essa equação precisa ser inconsistente, ou seja, o coeficiente de z deve ser zero enquanto o lado direito não é zero.
Então, vamos resolver 1 + t^3 = 0 :
t^3 = -1 implies t = -1
Agora, substituímos t = -1 na expressão 3 - t + 2t^2 :
3 - (-1) + 2(-1)^2 = 3 + 1 + 2 = 6 neq 0
Isso confirma que, quando t = -1 , a equação se torna 0 cdot z = 6 , o que é impossível, tornando o sistema inconsistente.

Resposta

O sistema não possui solução quando t = -1 .

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