Considere a matriz At=[ccc1 & t & 0 0 & 1 & t t & 0 & 1], t in R.
Use o escalonamento para determinar os valores de t in R para os quais o sistema
At[l x y z ]=[l 1 2 3 ]
tem uma única solução.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma matriz At que depende de um parâmetro t , e queremos descobrir para quais valores de t o sistema de equações At x y z = 1 2 3 tem uma única solução.
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares e vamos usar o método de escalonamento (também conhecido como eliminação de Gauss) para resolver. Precisaremos manipular a matriz aumentada do sistema para determinar quando ela tem solução única.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema, que combina a matriz dos coeficientes At com a coluna dos resultados:
[ ccc|c 1 & t & 0 & 1 0 & 1 & t & 2 t & 0 & 1 & 3 ]

Passo 3

O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, ou seja, uma forma onde os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)) na terceira linha.
Para isso, subtraímos t vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - t cdot R1
Vamos calcular:
R3 = [t 0 1 | 3] - t cdot [1 t 0 | 1] = [0 -t^2 1 | 3 - t]
Então, a matriz fica:
[ ccc|c 1 & t & 0 & 1 0 & 1 & t & 2 0 & -t^2 & 1 & 3 - t ]

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (que é 1 na posição (2,2)) na terceira linha. Para isso, adicionamos t^2 vezes a segunda linha à terceira linha:
R3 = R3 + t^2 cdot R2
Calculando:
R3 = [0 -t^2 1 | 3 - t] + t^2 cdot [0 1 t | 2] = [0 0 1 + t^3 | 3 - t + 2t^2]
Então, a matriz fica:
[ ccc|c 1 & t & 0 & 1 0 & 1 & t & 2 0 & 0 & 1 + t^3 & 3 - t + 2t^2 ]

Passo 5

Agora, vamos analisar a última equação da matriz escalonada:
(1 + t^3) z = 3 - t + 2t^2
Para que o sistema tenha uma única solução, o coeficiente de z não pode ser zero, ou seja, 1 + t^3 neq 0 .
Vamos resolver 1 + t^3 = 0 :
t^3 = -1 implies t = -1

Passo 6

Portanto, para que o sistema tenha uma única solução, devemos ter t neq -1 .

Resposta

O sistema tem uma única solução para todos os valores reais de t exceto quando t = -1 .

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