Seja T: R^3 R^3 a transformação linear dada pela equação
T(x, y, z)=(13 x+13 y+13 z, 13 x+13 y+13 z, 13 x+13 y+13 z)
Encontre a matriz A da transformação T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a matriz A que representa uma transformação linear T: R^3 R^3 . O enunciado nos dá a fórmula de T , então vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes para resolver isso. Precisamos entender como transformar os vetores da base canônica usando T para montar a matriz.

Passo 2

Primeiro, lembro que para encontrar a matriz de uma transformação linear, a gente aplica T em cada um dos vetores da base canônica de R^3 e usa os resultados como colunas da matriz A .

Passo 3

A base canônica de R^3 é formada pelos vetores e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) . Vamos aplicar T em cada um deles.

Passo 4

Vamos começar com e1 = (1, 0, 0) :
T(e1) = T(1, 0, 0) = ( 13cdot1 + 13cdot0 + 13cdot0, 13cdot1 + 13cdot0 + 13cdot0, 13cdot1 + 13cdot0 + 13cdot0 )
Simplificando:
T(e1) = ( 13, 13, 13 )

Passo 5

Agora, vamos aplicar T em e2 = (0, 1, 0) :
T(e2) = T(0, 1, 0) = ( 13cdot0 + 13cdot1 + 13cdot0, 13cdot0 + 13cdot1 + 13cdot0, 13cdot0 + 13cdot1 + 13cdot0 )
Simplificando:
T(e2) = ( 13, 13, 13 )

Passo 6

Por último, vamos aplicar T em e3 = (0, 0, 1) :
T(e3) = T(0, 0, 1) = ( 13cdot0 + 13cdot0 + 13cdot1, 13cdot0 + 13cdot0 + 13cdot1, 13cdot0 + 13cdot0 + 13cdot1 )
Simplificando:
T(e3) = ( 13, 13, 13 )

Passo 7

Agora que temos T(e1) , T(e2) e T(e3) , podemos montar a matriz A colocando esses vetores como colunas:
A = 13 & 13 & 13 13 & 13 & 13 13 & 13 & 13

Resposta

A matriz da transformação T é
A = 13 & 13 & 13 13 & 13 & 13 13 & 13 & 13

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