Considere a matriz
A=[ccc 1 & 2 & 3 3 & -4 & -9 1 & -2 & -1 ]
Use operações elementares para encontrar a solução geral do sistema AX=-8X, para X= [lllx & y & z]^t. A partir da soluçâo geral, encontre a única matriz abaixo, que 6 uma solução do sistema.
[a] [lll-2 & 3 & 1]^t.
(e) [lll-1 & 5 & 1]^t.
[b] [lll-2 & 5 & 1]^t.
[f] [lll-2 & 4 & 1]^t.
[c] [lll-3 & 4 & 1]^t.
(g) [lll-1 & 4 & 1]^t.
[d] [lll-3 & 3 & 1]^t.
h] [lll-1 & 3 & 1]^t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A e precisa encontrar um vetor X que satisfaz a equação AX = -8X . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de sistemas lineares e operações elementares em matrizes. Para resolver isso, vamos manipular a matriz usando operações elementares até conseguir encontrar todas as soluções possíveis para X . No final, vamos ver qual das opções fornecidas é uma solução válida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação AX = -8X de uma forma mais fácil de trabalhar. Podemos trazer o termo -8X para o lado esquerdo:
AX + 8IX = 0
Aqui, I é a matriz identidade. Isso significa que podemos combinar as matrizes A e 8I :
(A + 8I)X = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular A + 8I . A matriz identidade I de ordem 3 é:
I = [ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ]
Multiplicando por 8:
8I = [ccc 8 & 0 & 0 0 & 8 & 0 0 & 0 & 8 ]
Então, somando A e 8I :
A + 8I = [ccc 1+8 & 2+0 & 3+0 3+0 & -4+8 & -9+0 1+0 & -2+0 & -1+8 ] = [ccc 9 & 2 & 3 3 & 4 & -9 1 & -2 & 7 ]

Passo 4

Agora, temos o sistema:
[ccc|c 9 & 2 & 3 & 0 3 & 4 & -9 & 0 1 & -2 & 7 & 0 ]
Vamos resolver esse sistema usando operações elementares para encontrar os valores de x , y e z .

Passo 5

Primeiro, vamos simplificar as linhas para facilitar a resolução. Podemos começar eliminando o primeiro elemento das linhas abaixo da primeira.
  • Linha 2: Subtrair 13 da Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtrair 19 da Linha 1 da Linha 3.
Após essas operações, a matriz fica assim:
[ccc|c 9 & 2 & 3 & 0 0 & 103 & -10 & 0 0 & -209 & 203 & 0 ]

Passo 6

Agora, vamos simplificar a segunda linha para que o coeficiente de y seja 1. Para isso, multiplicamos a Linha 2 por 310 :
[ccc|c 9 & 2 & 3 & 0 0 & 1 & -3 & 0 0 & -209 & 203 & 0 ]

Passo 7

Em seguida, vamos eliminar o termo de y na Linha 1 e na Linha 3.
  • Linha 1: Subtrair 2 vezes a Linha 2 da Linha 1.
  • Linha 3: Adicionar 209 vezes a Linha 2 à Linha 3.
Após essas operações, a matriz fica:
[ccc|c 9 & 0 & 9 & 0 0 & 1 & -3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 8

Agora, podemos escrever as equações correspondentes:
  1. 9x + 9z = 0 x + z = 0 x = -z
  2. y - 3z = 0 y = 3z
Como a terceira linha é 0 = 0 , não adiciona novas informações. Portanto, z é uma variável livre.

Passo 9

Vamos expressar a solução geral em termos de z :
X = [c x y z ] = z [c -1 3 1 ]
Isso significa que todas as soluções são múltiplos do vetor [c -1 3 1 ] .

Resposta

A única matriz que é uma solução do sistema AX = -8X é:
[c -1 3 1 ]^t
Portanto, a resposta correta é a opção h.

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