Considere as matrizes
P=[ll 2 & 1 3 & 2 ], Q=[cc 2 & -1 -3 & 2 ] e D=[cc -1 & 0 0 & 2 ]
Seja A=P D Q. Calcule D^4 e Q P. Usando estes resultados calcule (A^t)^4, sem calcular A.
a [cc-44 & -90 30 & 60]
d [cc-40 & -90 30 & 61]
g [cc-44 & -90 30 & 61]
b [cc-44 & -91 31 & 60]
e. [cc-40 & -91 30 & 61]
h [cc-40 & -91 31 & 61]
c] [cc-40 & -91 31 & 60]
f [cc-44 & -90 31 & 60]

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos usar. Temos três matrizes:
P = 2 & 1 3 & 2 , Q = 2 & -1 -3 & 2 , D = -1 & 0 0 & 2
E nos dizem que A = P D Q . O exercício pede para calcular D^4 , QP e, usando esses resultados, calcular (A^t)^4 sem precisar calcular A diretamente. Vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e propriedades de matrizes diagonais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular D^4 . Como D é uma matriz diagonal, elevar ela a uma potência é simples: basta elevar cada elemento diagonal à potência desejada.
D = -1 & 0 0 & 2
Então,
D^4 = (-1)^4 & 0 0 & 2^4 = 1 & 0 0 & 16

Passo 3

Agora, vamos calcular QP . Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz:
Q = 2 & -1 -3 & 2 , P = 2 & 1 3 & 2
Multiplicando:
QP = (2 cdot 2) + (-1 cdot 3) & (2 cdot 1) + (-1 cdot 2) (-3 cdot 2) + (2 cdot 3) & (-3 cdot 1) + (2 cdot 2) = 4 - 3 & 2 - 2 -6 + 6 & -3 + 4 = 1 & 0 0 & 1
Interessante! QP resultou na matriz identidade.

Passo 4

Agora, vamos usar os resultados que encontramos para calcular (A^t)^4 . Primeiro, sabemos que A = P D Q , então:
A^t = (P D Q)^t = Q^t D^t P^t
Como D é uma matriz diagonal, ela é igual à sua transposta ( D^t = D ). Além disso, QP = I (a matriz identidade), então:
A^t = Q^t D P^t
Mas lembre-se que QP = I , então multiplicando por D^4 e mantendo as propriedades:
(A^t)^4 = (Q^t D P^t)^4 = Q^t D^4 P^t
Substituímos D^4 e QP que já calculamos:
(A^t)^4 = Q^t 1 & 0 0 & 16 P^t

Passo 5

Agora, vamos calcular Q^t e P^t :
Q^t = 2 & -3 -1 & 2 , P^t = 2 & 3 1 & 2
Multiplicando Q^t por D^4 :
Q^t D^4 = 2 & -3 -1 & 2 1 & 0 0 & 16 = 2 cdot 1 + (-3) cdot 0 & 2 cdot 0 + (-3) cdot 16 -1 cdot 1 + 2 cdot 0 & -1 cdot 0 + 2 cdot 16 = 2 & -48 -1 & 32
Agora, multiplicamos esse resultado por P^t :
(A^t)^4 = 2 & -48 -1 & 32 2 & 3 1 & 2 = 2 cdot 2 + (-48) cdot 1 & 2 cdot 3 + (-48) cdot 2 -1 cdot 2 + 32 cdot 1 & -1 cdot 3 + 32 cdot 2 = 4 - 48 & 6 - 96 -2 + 32 & -3 + 64 = -44 & -90 30 & 61

Resposta

g) -44 & -90 30 & 61

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