Considere três pontos A=(a1, a2), B=(b1, b2), C=(c1, c2) no sistema Oxy, sendo a1, a2, b1, b2, c1, c2 os números do R.A. do aluno 1 , em qualquer ordem.
a) Verifique se ABC é um triângulo.
b) Se ABC é um triângulo, determine as coordenadas de D tais que ABCD é um paralelogramo.

Passo 1

Temos três pontos
A=(a1,a2), B=(b1,b2), C=(c1,c2)
cujo R.A. só determina os valores numéricos de a1,a2,b1,b2,c1,c2.
a) Para verificar se ABC forma um triângulo, precisamos checar se A,B,C são não-colineares, isto é, se a área do triângulo for não nula.
b) Se de fato for triângulo, usamos vetores para achar D de modo que ABCD seja um paralelogramo.

Passo 2

Calculemos a área dobrada de ABC pelo determinante dos vetores AB e AC:
De<a = detl(AB,,ACr) = b1-a1 & c1-a1[6pt] b2-a2 & c2-a2 =(b1-a1)(c2-a2)-(b2-a2)(c1-a1) ]

Passo 3

Se De<aneq 0, então A,B,C não são colineares e, portanto, formam um triângulo. Caso contrário ( De<a=0), A,B,C ficam sobre a mesma reta e não há triângulo.

Passo 4

Supondo De<aneq0, querermos ABCD paralelogramo na ordem Ato Bto Cto D. Basta igualar
AD=BC
ou
CD=AB. Por exemplo,
AD=BC ;Longrightarrow; (Dx - a1,,Dy - a2)=(c1-b1,,c2-b2)
daí
D=(Dx,Dy)=(a1+c1-b1,;a2+c2-b2)

Resposta

a) ABC é triângulo se, e somente se,
(b1-a1)(c2-a2)-(b2-a2)(c1-a1)neq 0
b) Nesse caso, as coordenadas de D que fazem ABCD paralelogramo são
D=l(a1+c1-b1,;a2+c2-b2r)

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