Considere a matriz A=[ccc2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3], verifique que A é diagonalizável, em seguida encontre as matrizes M e B tais que A=M cdot B cdot M^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se a matriz A = 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3 é diagonalizável. Diagonalizar uma matriz significa encontrar uma matriz M cujas colunas são os vetores próprios de A e uma matriz diagonal B tal que A = M cdot B cdot M^-1 . Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores de A .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Isso é feito resolvendo a equação característica, que é det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 1 0 & -3 - lambda & 1 0 & 0 & -3 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot det -3 - lambda & 1 0 & -3 - lambda - 0 + 1 cdot det 0 & -3 - lambda 0 & 0
Simplificando:
det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot [(-3 - lambda)(-3 - lambda) - 0] + 0 = (2 - lambda)(-3 - lambda)^2
Então, a equação característica é:
(2 - lambda)(-3 - lambda)^2 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação (2 - lambda)(-3 - lambda)^2 = 0 , encontramos os autovalores:
lambda1 = 2 e lambda2 = lambda3 = -3
Então, os autovalores de A são 2 e -3 (com multiplicidade 2).

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 2 :
Montamos a equação (A - 2I)v = 0 :
0 & 0 & 1 0 & -5 & 1 0 & 0 & -5 v1 v2 v3 = 0 0 0
Das equações:
  1. 0v1 + 0v2 + v3 = 0 Rightarrow v3 = 0
  2. -5v2 + v3 = 0 Rightarrow -5v2 = 0 Rightarrow v2 = 0
  3. -5v3 = 0 Rightarrow v3 = 0
Portanto, os autovetores correspondentes a lambda1 = 2 são múltiplos de 1 0 0 .
Para lambda2 = -3 :
Montamos a equação (A + 3I)v = 0 :
5 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
Das equações:
  1. 5v1 + 0v2 + v3 = 0 Rightarrow v3 = -5v1
  2. 0v1 + 0v2 + v3 = 0 Rightarrow v3 = 0
  3. 0 = 0 (sem informação)
Da equação 2, v3 = 0 , então da equação 1, -5v1 = 0 Rightarrow v1 = 0 . O único autovetor é da forma 0 v2 0 , onde v2 é livre. Podemos escolher v2 = 1 , então um autovetor correspondente a lambda2 = -3 é 0 1 0 .

Passo 6

Para a multiplicidade do autovalor lambda2 = -3 ser igual à sua multiplicidade geométrica (número de autovetores lineares independentes), precisamos de duas autovetores diferentes. No entanto, vimos que há apenas um autovetor 0 1 0 associado a lambda2 = -3 .
Mas, observando a matriz A , ela é uma matriz triangular, então os autovalores na diagonal já indicam a multiplicidade. Porém, para ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica deve ser igual à multiplicidade algébrica para cada autovalor.
Neste caso, a multiplicidade algébrica de lambda = -3 é 2, mas a multiplicidade geométrica é 1. Portanto, a matriz A não é diagonalizável.

Passo 7

Desculpe, percebi um erro na análise anterior. Vamos reavaliar a multiplicidade geométrica.
Para lambda2 = -3 , temos:
(A + 3I) = 5 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Resolvendo (A + 3I)v = 0 :
  1. 5v1 + v3 = 0 Rightarrow v3 = -5v1
  2. v3 = 0 Rightarrow -5v1 = 0 Rightarrow v1 = 0
  3. 0 = 0 (sem restrição)
Portanto, v1 = 0 , v3 = 0 , e v2 é livre. Então, os autovetores são da forma 0 1 0 . Apenas um autovetor, confirmando multiplicidade geométrica 1.

Passo 8

Como a multiplicidade geométrica de lambda = -3 é menor que a multiplicidade algébrica, a matriz A não é diagonalizável. Portanto, não conseguimos encontrar matrizes M e B tais que A = M cdot B cdot M^-1 com B sendo diagonal.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica do autovalor -3 é menor que sua multiplicidade algébrica. Portanto, não é possível encontrar matrizes M e B tais que A = M cdot B cdot M^-1 com B diagonal.

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