Considere a matriz , verifique que A é diagonalizável, em seguida encontre as matrizes M e B tais que A=M cdot B cdot M^-1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se a matriz A = 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3 é diagonalizável. Diagonalizar uma matriz significa encontrar uma matriz M cujas colunas são os vetores próprios de A e uma matriz diagonal B tal que A = M cdot B cdot M^-1 . Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores de A .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Isso é feito resolvendo a equação característica, que é det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Portanto, os autovetores correspondentes a lambda1 = 2 são múltiplos de 1 0 0 .
Para lambda2 = -3 :
Montamos a equação (A + 3I)v = 0 :
5 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
Das equações:
5v1 + 0v2 + v3 = 0 Rightarrow v3 = -5v1
0v1 + 0v2 + v3 = 0 Rightarrow v3 = 0
0 = 0 (sem informação)
Da equação 2, v3 = 0 , então da equação 1, -5v1 = 0 Rightarrow v1 = 0 . O único autovetor é da forma 0 v2 0 , onde v2 é livre. Podemos escolher v2 = 1 , então um autovetor correspondente a lambda2 = -3 é 0 1 0 .
Passo 6
Para a multiplicidade do autovalor lambda2 = -3 ser igual à sua multiplicidade geométrica (número de autovetores lineares independentes), precisamos de duas autovetores diferentes. No entanto, vimos que há apenas um autovetor 0 1 0 associado a lambda2 = -3 .
Mas, observando a matriz A , ela é uma matriz triangular, então os autovalores na diagonal já indicam a multiplicidade. Porém, para ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica deve ser igual à multiplicidade algébrica para cada autovalor.
Neste caso, a multiplicidade algébrica de lambda = -3 é 2, mas a multiplicidade geométrica é 1. Portanto, a matriz A não é diagonalizável.
Passo 7
Desculpe, percebi um erro na análise anterior. Vamos reavaliar a multiplicidade geométrica.
Para lambda2 = -3 , temos:
(A + 3I) = 5 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Resolvendo (A + 3I)v = 0 :
5v1 + v3 = 0 Rightarrow v3 = -5v1
v3 = 0 Rightarrow -5v1 = 0 Rightarrow v1 = 0
0 = 0 (sem restrição)
Portanto, v1 = 0 , v3 = 0 , e v2 é livre. Então, os autovetores são da forma 0 1 0 . Apenas um autovetor, confirmando multiplicidade geométrica 1.
Passo 8
Como a multiplicidade geométrica de lambda = -3 é menor que a multiplicidade algébrica, a matriz A não é diagonalizável. Portanto, não conseguimos encontrar matrizes M e B tais que A = M cdot B cdot M^-1 com B sendo diagonal.
Resposta
A matriz A não é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica do autovalor -3 é menor que sua multiplicidade algébrica. Portanto, não é possível encontrar matrizes M e B tais que A = M cdot B cdot M^-1 com B diagonal.