Determine o operador linear T: R^2 longrightarrow R^2 satisfazendo as seguintes propriedades simultaneamente:
a) lambda1=1 é um autovalor de T com os automotores associados do tipo v1=(x,-x), x in R não nulo.
b) lambda2=3 é um autovalor de T com os automotores associados do tipo v2=(0, x), x in R não nulo.

Passo 1

O enunciado nos pede um operador linear Tcolon R^2toR^2 com autovalores lambda1=1 e lambda2=3. O autoespaço para lambda1=1 é (x,-x)mid xneq0 e para lambda2=3 é (0,x)mid xneq0. Vamos usar conceitos de autovalores, autovetores, mudança de base e diagonalização.

Passo 2

Note que os vetores v1=(1,-1) e v2=(0,1) são representantes das direções dadas e são linearmente independentes. Eles formam, portanto, uma base de R^2. Na base v1,v2, a ação de T é simplesmente
T(v1)=1cdot v1, T(v2)=3cdot v2,
ou seja, a matriz de T nessa base é diagonal.

Passo 3

Definimos a matriz de passagem P da base canônica e1,e2 para a base v1,v2 cujas colunas são v1 e v2:
P = 1 & 0 -1 & 1 , D = 1 & 0 0 & 3

Passo 4

Como det P = 1, o inverso de P é
P^-1 = 11 ;1 & 0 ;1 & 1 = 1 & 0 1 & 1

Passo 5

Para voltar à base canônica, construímos
T = P,D,P^-1 = 1&0-1&1 1&00&3 1&01&1 = 1&02&3

Resposta

A matriz de T na base canônica é
1 & 0 2 & 3 ,
ou seja, a transformação é
T(x,y) = (,x,;2x+3y,)

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