Considere as matrizes A=[ll1 & 0 1 & 1] e B=[ll1 & 1 0 & 1] calcule os autovalores de A, B, A B e BA. Conclua que os alto valores de AB (são/não são) iguais aos auto valores de A vezes os alto valores de B. Conclua ainda que os alto valores de AB (são/não são) iguais aos auto valores de BA.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos os autovalores das matrizes A , B , AB e BA . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e determinantes. Precisamos saber como encontrar autovalores de uma matriz e entender um pouco sobre multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade.
Para A = 1 & 0 1 & 1 , temos:
A - lambda I = 1 - lambda & 0 1 & 1 - lambda
O determinante é:
(1 - lambda)(1 - lambda) - (0)(1) = (1 - lambda)^2
Igualando a zero:
(1 - lambda)^2 = 0 Rightarrow lambda = 1
Então, o autovalor de A é lambdaA = 1 .

Passo 3

Agora, vamos calcular os autovalores da matriz B :
B = 1 & 1 0 & 1
Aplicando a mesma fórmula:
B - lambda I = 1 - lambda & 1 0 & 1 - lambda
O determinante é:
(1 - lambda)(1 - lambda) - (1)(0) = (1 - lambda)^2
Igualando a zero:
(1 - lambda)^2 = 0 Rightarrow lambda = 1
Então, o autovalor de B é lambdaB = 1 .

Passo 4

Vamos agora multiplicar as matrizes A e B para encontrar AB :
AB = 1 & 0 1 & 1 1 & 1 0 & 1 = (1)(1)+ (0)(0) & (1)(1)+(0)(1) (1)(1)+(1)(0) & (1)(1)+(1)(1) = 1 & 1 1 & 2
Agora, encontramos os autovalores de AB :
AB - lambda I = 1 - lambda & 1 1 & 2 - lambda
Determinante:
(1 - lambda)(2 - lambda) - (1)(1) = (1 - lambda)(2 - lambda) - 1
Expandindo:
(1)(2) -1lambda -2lambda + lambda^2 -1 = 2 -3lambda + lambda^2 -1 = lambda^2 -3lambda +1
Igualando a zero:
lambda^2 -3lambda +1 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52
Então, os autovalores de AB são lambdaAB = 3 + raiz52 e lambdaAB = 3 - raiz52 .

Passo 5

Agora, vamos calcular BA :
BA = 1 & 1 0 & 1 1 & 0 1 & 1 = (1)(1)+(1)(1) & (1)(0)+(1)(1) (0)(1)+(1)(1) & (0)(0)+(1)(1) = 2 & 1 1 & 1
Encontrando os autovalores de BA :
BA - lambda I = 2 - lambda & 1 1 & 1 - lambda
Determinante:
(2 - lambda)(1 - lambda) - (1)(1) = 2 -3lambda + lambda^2 -1 = lambda^2 -3lambda +1
Igualando a zero:
lambda^2 -3lambda +1 = 0
Resolvendo:
lambda = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52
Então, os autovalores de BA são lambdaBA = 3 + raiz52 e lambdaBA = 3 - raiz52 .

Passo 6

Vamos verificar se os autovalores de AB são iguais ao produto dos autovalores de A e B . Os autovalores de A e B são ambos 1.
Multiplicando os autovalores de A e B :
lambdaA times lambdaB = 1 times 1 = 1
Comparando com os autovalores de AB :
3 + raiz52 approx 2.618 e 3 - raiz52 approx 0.382
Claramente, 1 não é igual a nenhum dos autovalores de AB .

Passo 7

Por fim, vamos ver se os autovalores de AB são iguais aos de BA . Observamos que ambos AB e BA têm os mesmos autovalores calculados:
3 + raiz52 e 3 - raiz52
Portanto, os autovalores de AB são iguais aos de BA .

Resposta

Os autovalores de A e B são ambos 1 . Os autovalores de AB e BA são 3 + raiz52 e 3 - raiz52 . Concluímos que os autovalores de AB não são iguais ao produto dos autovalores de A e B , mas que os autovalores de AB são iguais aos autovalores de BA .

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