Considere as matrizes e B=[ll1 & 1 0 & 1] calcule os autovalores de A, B, A B e BA. Conclua que os alto valores de AB (são/não são) iguais aos auto valores de A vezes os alto valores de B. Conclua ainda que os alto valores de AB (são/não são) iguais aos auto valores de BA.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos os autovalores das matrizes A , B , AB e BA . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e determinantes. Precisamos saber como encontrar autovalores de uma matriz e entender um pouco sobre multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica:
Então, os autovalores de BA são lambdaBA = 3 + raiz52 e lambdaBA = 3 - raiz52 .
Passo 6
Vamos verificar se os autovalores de AB são iguais ao produto dos autovalores de A e B . Os autovalores de A e B são ambos 1.
Multiplicando os autovalores de A e B :
lambdaA times lambdaB = 1 times 1 = 1
Comparando com os autovalores de AB :
3 + raiz52 approx 2.618 e 3 - raiz52 approx 0.382
Claramente, 1 não é igual a nenhum dos autovalores de AB .
Passo 7
Por fim, vamos ver se os autovalores de AB são iguais aos de BA . Observamos que ambos AB e BA têm os mesmos autovalores calculados:
3 + raiz52 e 3 - raiz52
Portanto, os autovalores de AB são iguais aos de BA .
Resposta
Os autovalores de A e B são ambos 1 . Os autovalores de AB e BA são 3 + raiz52 e 3 - raiz52 . Concluímos que os autovalores de AB não são iguais ao produto dos autovalores de A e B , mas que os autovalores de AB são iguais aos autovalores de BA .