Sejam V um espaço vetorial e T: V longrightarrow V um operador linear tal que lambda é um autovalor com autovetor associado v.Mostre que a lambda+b é um autovalor do operador a T+b IV, com v autovetor associado.

Passo 1

O enunciado fornece um operador linear T: V to V em um espaço vetorial V, com autovalor lambda e autovetor associado v. Vamos usar a definição de autovetor/autovalor e as propriedades de combinação linear de operadores, em especial do operador identidade IV.

Passo 2

Para o operador aT + bIV, aplicamos em v. Sabemos que
T(v)=lambda v
e
IV(v)=v
Logo,
(aT + bIV)(v) = a,T(v) + b,IV(v) = alambda v + b v = (alambda + b),v
Isso mostra que v é autovetor de aT + bIV e que o autovalor correspondente é alambda + b.

Resposta

O autovalor de aT + bIV é alambda + b, com autovetor associado v.

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