Sejam
um espaço vetorial e
um operador linear tal que
é um autovalor com autovetor associado v.Mostre que
é um autovalor do operador
, com
autovetor associado.
Passo 1
O enunciado fornece um operador linear
em um espaço vetorial
, com autovalor
e autovetor associado
. Vamos usar a definição de autovetor/autovalor e as propriedades de combinação linear de operadores, em especial do operador identidade
.
Passo 2
Para o operador
, aplicamos em
. Sabemos que
e
Logo,
Isso mostra que
é autovetor de
e que o autovalor correspondente é
.
Resposta
O autovalor de
é
, com autovetor associado
.