Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
; (Ana Caroline)
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear
encontrar os autovalores, os autoespaços associados, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, por fim, decidir se
é diagonalizável.
Passo 2
Em relação à base canônica
, a matriz de
é
Passo 3
O polinômio característico de
é
As raízes são
Passo 4
Para
, resolvemos
, ou seja
Da primeira linha
vem
. Um vetor próprio é
Analogamente, para
obtemos
e um vetor próprio
Assim, os autoespaços sobre
são
Passo 5
Cada autovalor
e
aparece uma vez no polinômio característico, logo cada um tem multiplicidade algébrica
. Como em cada caso o autoespaço é de dimensão
, a multiplicidade geométrica também é
.
Em
não há autovalores reais, portanto
não é diagonalizável sobre
. Mas, estendendo o espaço para
, o polinômio se fatora em raízes distintas e
para
, então
é diagonalizável sobre
.
Resposta
Os autovalores são
, cada um com multiplicidade algébrica e geométrica igual a
.
não é diagonalizável sobre
, mas é diagonalizável sobre
.