Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(x-3 y, 3 x+y); (Ana Caroline)

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (x - 3y,;3x + y)
encontrar os autovalores, os autoespaços associados, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, por fim, decidir se T é diagonalizável.

Passo 2

Em relação à base canônica (1,0),(0,1), a matriz de T é
A = 1 & -3 [6pt] 3 & 1 ]

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = det1-lambda & -3 [3pt] 3 & 1-lambda = (1-lambda)^2 + 9 = lambda^2 - 2lambda + 10
As raízes são
lambda = 2 pm raiz(-2)^2 -4cdot1cdot102 = 2 pm raiz-362 = 1 pm 3,i ]

Passo 4

Para , resolvemos , ou seja
Da primeira linha vem . Um vetor próprio é
Analogamente, para obtemos e um vetor próprio
Assim, os autoespaços sobre são
]

Passo 5

Cada autovalor lambda1 e lambda2 aparece uma vez no polinômio característico, logo cada um tem multiplicidade algébrica 1. Como em cada caso o autoespaço é de dimensão 1, a multiplicidade geométrica também é 1.
Em R^2 não há autovalores reais, portanto T não é diagonalizável sobre R. Mas, estendendo o espaço para C^2, o polinômio se fatora em raízes distintas e dim Elambdak=1 para k=1,2, então T é diagonalizável sobre C.

Resposta

Os autovalores são lambda=1pm3i, cada um com multiplicidade algébrica e geométrica igual a 1. T não é diagonalizável sobre R, mas é diagonalizável sobre C.

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