Considere o subconjunto de R^5, V=(x, y, z, w, k) in R^5: 2 x+z-3 w+k=0, y-3 z+w=0.
Verifique que V é subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define
V = (x,y,z,w,k)inR^5 mid 2x + z - 3w + k = 0,; y - 3z + w = 0
Queremos mostrar que V é subespaço de R^5. Para isso, vamos usar a definição de subespaço:
1. V é não--vazio (contém o vetor zero).
2. V é fechado sob soma de vetores.
3. V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de R^5, isto é (0,0,0,0,0), pertence a V. Basta verificar as duas equações:
2cdot 0 + 0 - 3cdot 0 + 0 = 0, 0 - 3cdot 0 + 0 = 0
Ambas são verdadeiras, logo (0,0,0,0,0)in V e V é não--vazio.

Passo 3

Fechamento sob soma. Seja
u = (x1,y1,z1,w1,k1)in V, v = (x2,y2,z2,w2,k2)in V
Como uin V e vin V, temos
2x1 + z1 - 3w1 + k1 = 0, y1 - 3z1 + w1 = 0,
e
2x2 + z2 - 3w2 + k2 = 0, y2 - 3z2 + w2 = 0
Considere u+v = (x1+x2,,y1+y2,,z1+z2,,w1+w2,,k1+k2). Então
2(x1+x2) + (z1+z2) - 3(w1+w2) + (k1+k2) = [2x1+z1-3w1+k1] + [2x2+z2-3w2+k2] = 0 + 0 = 0,
e
(y1+y2) - 3(z1+z2) + (w1+w2) = [y1-3z1+w1] + [y2-3z2+w2] = 0 + 0 = 0
Portanto u+v também satisfaz as duas equações e pertence a V. Assim, V é fechado sob soma.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e u=(x,y,z,w,k)in V. Como uin V,
2x + z - 3w + k = 0, y - 3z + w = 0
Considere alpha,u = (alpha x,alpha y,alpha z,alpha w,alpha k). Então
2(alpha x) + (alpha z) - 3(alpha w) + (alpha k) = alpha,(2x + z - 3w + k) = alpha cdot 0 = 0,
e
(alpha y) - 3(alpha z) + (alpha w) = alpha,(y - 3z + w) = alpha cdot 0 = 0
Logo alpha,uin V, e V é fechado sob escalar.

Resposta

V é subespaço vetorial de R^5.

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