Considere a matriz
X=\left(\begin{array}{ll} 1 & \frac{1}{y} \\\ y & 1 \end{array}\right)
onde y é um número real diferente de zero. Se p(x)=x^{2}-2 x, mostre que a matriz X é um zero desse polinômio, ou seja, P(X)=0.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
X = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{y}\\[6pt] y & 1 \end{pmatrix},
com y\neq0, e o polinômio p(x)=x^{2}-2x. Queremos mostrar que, ao substituir X em p, obtemos a matriz zero; isto é, que
p(X)=X^{2}-2X = 0.]

Passo 2

Calcular X^{2} usando a definição de produto de matrizes. Temos
X^{2} = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{y}\\[4pt] y & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{y}\\[4pt] y & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + \tfrac{1}{y}\cdot y & 1\cdot\tfrac{1}{y} + \tfrac{1}{y}\cdot1\\[6pt] y\cdot1 + 1\cdot y & y\cdot\tfrac{1}{y} + 1\cdot1 \end{pmatrix}.
Agora simplificamos cada entrada:
1\cdot1 + \tfrac{1}{y}\cdot y = 1 + 1 = 2,\quad 1\cdot\tfrac{1}{y} + \tfrac{1}{y}\cdot1 = \tfrac{2}{y},
y\cdot1 + 1\cdot y = 2y,\quad y\cdot\tfrac{1}{y} + 1\cdot1 = 1 + 1 = 2.
Logo,
X^{2} = \begin{pmatrix} 2 & \tfrac{2}{y}\\[4pt] 2y & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Formar p(X)=X^{2}-2X. Escrevendo
2X = 2\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{y}\\[4pt] y & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & \tfrac{2}{y}\\[4pt] 2y & 2 \end{pmatrix},
temos então
p(X) = X^{2} - 2X = \begin{pmatrix} 2 & \tfrac{2}{y}\\[4pt] 2y & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & \tfrac{2}{y}\\[4pt] 2y & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Subtraindo entrada a entrada, obtemos a matriz nula:
p(X) = \begin{pmatrix} 2-2 & \tfrac{2}{y}-\tfrac{2}{y}\\[4pt] 2y-2y & 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.
Portanto, X é de fato raiz do polinômio p.]

Resposta

p(X)=0.

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