Escreva o sistema de Cramer abaixo
\left\{\begin{array}{r} x+y+z=2 \\\ x-y+z=0 \\\ y+2 z=0 \end{array}\right.
como uma equação matricial. Em seguida, determine a solução do sistema usando a inversa da matriz associada ao sistema.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o sistema
\begin{cases} x+y+z=2,\\\ x-y+z=0,\\\ y+2z=0 \end{cases}
na forma matricial A\,X=B e, em seguida, resolver usando X=A^{-1}B. O conteúdo é Álgebra Linear: representação matricial de sistemas lineares e cálculo de inversa de matriz.

Passo 2

Escrevendo o sistema como
A\,X = B,
onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[6pt] 1 & -1 & 1 \\[6pt] 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\\[3pt]z\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2\\[3pt]0\\[3pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos o determinante de A para ver se ela é invertível:
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&1\end{pmatrix} =-3-2+1=-4.
Como \det A=-4\neq0, A é invertível.

Passo 4

Para achar A^{-1} usamos a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\mathrm{adj}(A),
onde \mathrm{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores de A. Calculando, obtemos
A^{-1} =\frac{1}{-4} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 1\\\\ -1 & 2 & -1\\\\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}^{\!T} = \begin{pmatrix} \tfrac34 & \tfrac14 & -\tfrac12\\[4pt] \tfrac12 & -\tfrac12 & 0\\[4pt] -\tfrac14 & \tfrac14 & \tfrac12 \end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução do sistema é
X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \tfrac34 & \tfrac14 & -\tfrac12\\[4pt] \tfrac12 & -\tfrac12 & 0\\[4pt] -\tfrac14 & \tfrac14 & \tfrac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[3pt]0\\[3pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac32\\[3pt] 1\\[3pt] -\tfrac12 \end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle x=\tfrac32,\;y=1,\;z=-\tfrac12.

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