Seja V o conjunto
\mathrm{V}=\{f ; f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \text { é um função diferenciável }\} .éçãá
Considere em V as seguintes operações f \oplus g e \lambda \odot f definidas por:
(f \oplus g)(x):=f(x)+g(x), \forall f, g \in V \text { e } \forall x \in[0,1]
e
(\lambda \odot f)(x):=\lambda \cdot f(x), \quad \forall x \in[0,1], \lambda \in \mathbb{R} \text { e } \forall f \in \mathrm{~V}
Prove que (V, \oplus, \odot) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define \mathrm{V}=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}\mid f\text{ é diferenciável}\}éá
com operações ponto a ponto (f\oplus g)(x)=f(x)+g(x) e (\lambda\odot f)(x)=\lambda f(x).
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais, e vamos precisar verificar os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Fechamento: precisamos mostrar que, dadas f,g\in\mathrm{V} e \lambda\in\mathbb{R}, então f\oplus g e \lambda\odot f também são diferenciáveis em [0,1].
Como soma e produto por escalar preservam diferenciabilidade, temos
(f\oplus g)'(x)=f'(x)+g'(x) \quad\text{e}\quad (\lambda\odot f)'(x)=\lambda\,f'(x),
logo f\oplus g e \lambda\odot f pertencem a \mathrm{V}.

Passo 3

Propriedades de adição:
  1. Comutatividade: para todo x\in[0,1],
(f\oplus g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g\oplus f)(x).
  1. Associatividade: para f,g,h\in\mathrm{V} e todo x,
\bigl((f\oplus g)\oplus h\bigr)(x) =(f(x)+g(x))+h(x) =f(x)+(g(x)+h(x)) =(f\oplus(g\oplus h))(x).

Passo 4

Elemento neutro e inverso aditivo:
Defina a função zero 0 por 0(x)=0 para todo x. Essa 0 é diferenciável e
(f\oplus 0)(x)=f(x)+0=f(x),\quad (0\oplus f)(x)=0+f(x)=f(x).
Para cada f, o inverso aditivo é -f dado por (-f)(x)=-f(x), que é diferenciável e satisfaz
(f\oplus(-f))(x)=f(x)-f(x)=0(x).

Passo 5

Propriedades de multiplicação por escalar:
  1. Distributividade em relação à soma de vetores:
\bigl(\lambda\odot(f\oplus g)\bigr)(x) =\lambda\bigl(f(x)+g(x)\bigr) =\lambda f(x)+\lambda g(x) =\bigl(\lambda\odot f\oplus\lambda\odot g\bigr)(x).
  1. Distributividade em relação à soma de escalares:
\bigl((\lambda+\mu)\odot f\bigr)(x) =(\lambda+\mu)f(x) =\lambda f(x)+\mu f(x) =\bigl(\lambda\odot f\oplus\mu\odot f\bigr)(x).
  1. Compatibilidade de escalares:
\bigl((\lambda\mu)\odot f\bigr)(x) =(\lambda\mu)f(x) =\lambda\bigl(\mu f(x)\bigr) =\bigl(\lambda\odot(\mu\odot f)\bigr)(x).
  1. Escalar identidade:
(1\odot f)(x)=1\cdot f(x)=f(x).

Passo 6

Verificamos todos os axiomas de espaço vetorial: fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e inverso aditivo, e as quatro propriedades envolvendo escalar. Portanto, (\mathrm{V},\oplus,\odot) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

(V,\oplus,\odot) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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