Seja
o conjunto
Considere em
as seguintes operações
e
definidas por:
e
Prove que
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado define
com operações ponto a ponto e
.
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais, e vamos precisar verificar os axiomas de espaço vetorial sobre .
com operações ponto a ponto
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais, e vamos precisar verificar os axiomas de espaço vetorial sobre
Passo 2
Fechamento: precisamos mostrar que, dadas
e
, então
e
também são diferenciáveis em
.
Como soma e produto por escalar preservam diferenciabilidade, temos
Como soma e produto por escalar preservam diferenciabilidade, temos
logo
e
pertencem a
.
Passo 3
Propriedades de adição:
- Comutatividade: para todo
,
- Associatividade: para
e todo ,
Passo 4
Elemento neutro e inverso aditivo:
Defina a função zero por
para todo
. Essa
é diferenciável e
Defina a função zero
Para cada
, o inverso aditivo é
dado por
, que é diferenciável e satisfaz
Passo 5
Propriedades de multiplicação por escalar:
- Distributividade em relação à soma de vetores:
- Distributividade em relação à soma de escalares:
- Compatibilidade de escalares:
- Escalar identidade:
Passo 6
Verificamos todos os axiomas de espaço vetorial: fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e inverso aditivo, e as quatro propriedades envolvendo escalar. Portanto,
é um espaço vetorial sobre
.