O conteúdo aqui é sistema linear paramétrico: vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes para ver onde o sistema é invertível (solução única) e onde não (infinidade ou impossibilidade de soluções).
Passo 2
A matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix} k & 1 & 1\\\\ 1 & k & 1\\\\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}.
Quando \det(A)\neq0, isto é, para k\neq1 e k\neq-2, a matriz é invertível e o sistema tem solução única. Observando a simetria das equações, concluímos que deve valer x=y=z. Substituindo em qualquer equação, por exemplo
k\,x+x+x=1\quad\Longrightarrow\quad (k+2)\,x=1
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x=y=z=\frac{1}{k+2}.
Passo 4
Para k=1, o determinante anula-se, e o sistema fica
que é a mesma equação repetida. Isso implica posto da matriz de coeficientes igual a 1 e número de incógnitas 3, gerando infinidade de soluções (dois graus de liberdade), todas da forma
x+y+z=1.
Passo 5
Para k=-2\), também \(\det(A)=0\), mas agora o sistema é
\[\begin{cases} -2x+y+z=1,\\\ x-2y+z=1,\\\ x+y-2z=1. \end{cases}
Somando as três equações, obtém-se (0=3], que é impossível. Logo o sistema é incompatível e não tem solução.