Discutir, em função de k, o sistema abaixo:
\left\{\begin{array}{l} k x+y+z=1 \\\ x+k y+z=1 \\\ x+y+k z=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para discutir, em função de k, as soluções do sistema linear
\begin{cases} k\,x+y+z=1,\\\ x+k\,y+z=1,\\\ x+y+k\,z=1. \end{cases}
O conteúdo aqui é sistema linear paramétrico: vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes para ver onde o sistema é invertível (solução única) e onde não (infinidade ou impossibilidade de soluções).

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix} k & 1 & 1\\\\ 1 & k & 1\\\\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}.
Seu determinante é
\det(A) = k\det\begin{pmatrix}k&1\\\ 1&k\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&k\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}1&k\\\ 1&1\end{pmatrix} = k(k^2-1)-(k-1)+(1-k) = k^3-3k+2.
Fatorando, obtemos
\det(A)=(k-1)^2\,(k+2).

Passo 3

Quando \det(A)\neq0, isto é, para k\neq1 e k\neq-2, a matriz é invertível e o sistema tem solução única. Observando a simetria das equações, concluímos que deve valer x=y=z. Substituindo em qualquer equação, por exemplo
k\,x+x+x=1\quad\Longrightarrow\quad (k+2)\,x=1
logo
x=y=z=\frac{1}{k+2}.

Passo 4

Para k=1, o determinante anula-se, e o sistema fica
\begin{cases} x+y+z=1,\\\ x+y+z=1,\\\ x+y+z=1, \end{cases}
que é a mesma equação repetida. Isso implica posto da matriz de coeficientes igual a 1 e número de incógnitas 3, gerando infinidade de soluções (dois graus de liberdade), todas da forma
x+y+z=1.

Passo 5

Para k=-2\), também \(\det(A)=0\), mas agora o sistema é \[\begin{cases} -2x+y+z=1,\\\ x-2y+z=1,\\\ x+y-2z=1. \end{cases}
Somando as três equações, obtém-se (0=3], que é impossível. Logo o sistema é incompatível e não tem solução.

Resposta

Para o sistema
\begin{cases} k\,x+y+z=1,\\\ x+k\,y+z=1,\\\ x+y+k\,z=1, \end{cases}
valem as seguintes conclusões:
Para k\neq1 e k\neq -2, solução única
x=y=z=\frac{1}{k+2}.
Para k=1, infinitas soluções dadas por
x+y+z=1.
Para k=-2, não há solução (sistema incompatível).

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