Considere as matrizes:
A=[cc -4 & -3 10 & 7 ] B=[ccc 1 & -2 & 3 0 & -1 & 3 0 & 0 & 1 ] e C=[ccc 0 & 0 & -2 1 & 2 & 1 1 & 0 & 3 ]
Use diagonalização para calcular A^10, B^35 e C^13.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as potências ,A^10,,B^35 e C^13 usando diagonalização. O conteúdo envolvido é: encontrar autovalores e autovetores de cada matriz, montar P e D tais que M=PDP^-1, e então usar
M^n = P,D^n,P^-1

Passo 2

Diagonalização de A:
O característico de A=-4&-310&7 satisfaz
det(A-lambda I) =det-4-lambda&-310&7-lambda =lambda^2-3lambda+2=(lambda-1)(lambda-2)
Logo lambda1=1, lambda2=2.
Para lambda1=1, resolvemos (A-I)x=0 e achamos v1=(3,-5).
Para lambda2=2, resolvemos (A-2I)x=0 e achamos v2=(1,-2).
Assim
PA=3&1-5&-2, DA=1&00&2, PA^-1=2&1-5&-3

Passo 3

Cálculo de A^10:
A^10=PA,DA^10,PA^-1 =PA1^10&00&2^10PA^-1 =PA1&00&1024PA^-1
Fazendo as multiplicações, obtém-se
A^10 =-5114&-306910230&6139

Passo 4

Diagonalização de B:
B=1&-2&30&-1&30&0&1
é triangular com autovalores 1,-1,1. Como dimker(B-I)=2 e dimker(B+I)=1, B é diagonalizável. No entanto, nota-se diretamente que
B^2=ILongrightarrow B^35=B,(B^2)^17=B

Passo 5

Portanto
B^35=B =1&-2&30&-1&30&0&1

Passo 6

Diagonalização de C:
C=0&0&-21&2&11&0&3
O polinômio característico é lambda^3-5lambda^2+8lambda-4=(lambda-1)(lambda-2)^2.
Para lambda=1 achamos autovetor v1=(-2,1,1).
Para lambda=2 o espaço próprio é 2-dimensional, autovetores por exemplo
,v2=(0,1,0) e v3=(-1,0,1).
Logo
PC=-2&0&-11&1&01&0&1, DC=1&0&00&2&00&0&2,
PC^-1=-1&0&-11&1&11&0&2

Passo 7

Cálculo de C^13:
C^13 =PC,DC^13,PC^-1 =PC1^13&0&00&2^13&00&0&2^13PC^-1 =PC1&0&00&8192&00&0&8192PC^-1
Multiplicando, chega-se a
C^13 = -8190 & 0 & -16382 8191 & 8192 & 8191 8191 & 0 & 16383

Resposta

A^10 = -5114 & -3069 10230 & 6139
B^35 = B = 1 & -2 & 3 0 & -1 & 3 0 & 0 & 1
C^13 = -8190 & 0 & -16382 8191 & 8192 & 8191 8191 & 0 & 16383 .

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