Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Se
é uma matriz diagonalizável, então
também é diagonalizável.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, sempre que uma matriz
é diagonalizável, sua transposta
também o é. Vamos usar a definição de diagonalizabilidade via mudança de base e explorar como a operação de transposição interage com produto de matrizes.
Passo 2
Por definição,
é diagonalizável se existe uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tais que
Passo 3
Transpondo ambos os lados de
, obtemos
Como
é diagonal, temos
. Além disso, a transposta de um produto satisfaz
Passo 4
Aplicando isso a
, vem
Mas
, logo
Isso mostra que
é diagonalizável, usando a matriz invertível
como mudança de base.
Resposta
A afirmação é verdadeira.