Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Se A é uma matriz diagonalizável, então A^t também é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pergunta se, sempre que uma matriz A é diagonalizável, sua transposta A^T também o é. Vamos usar a definição de diagonalizabilidade via mudança de base e explorar como a operação de transposição interage com produto de matrizes.

Passo 2

Por definição, A é diagonalizável se existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
P^-1 A P = D

Passo 3

Transpondo ambos os lados de ,P^-1 A P = D, obtemos
(P^-1 A P)^T = D^T
Como D é diagonal, temos D^T=D. Além disso, a transposta de um produto satisfaz
(XYZ)^T = Z^T Y^T X^T

Passo 4

Aplicando isso a (P^-1 A P)^T, vem
A^T = (P,D,P^-1)^T = (P^-1)^T,D^T,P^T = (P^-1)^T,D,P^T
Mas (P^-1)^T = (P^T)^-1, logo
(P^T)^-1,A^T,P^T = D
Isso mostra que A^T é diagonalizável, usando a matriz invertível P^T como mudança de base.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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