Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Se todo autovalor de um operador ou matriz A tem multiplicidade geométrica 1, então A é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Se todo autovalor de um operador (ou matriz) A tem multiplicidade geométrica igual a 1, então A é diagonalizável.”
Aqui vamos usar os conceitos de multiplicidade algébrica, multiplicidade geométrica e o critério de diagonalização de matrizes.

Passo 2

Lembramos que uma matriz A de ordem n é diagonalizável se, e somente se, existe uma base de K^n formada por autovetores de A. Isso equivale a dizer que a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores é n.
Além disso, para cada autovalor lambda vale sempre
mu<iplicidade >=ométrica of lambda ;<=;mu<iplicidade algébrica of lambda, éé
e a soma das multiplicidades algébricas, contando repetições, é n.

Passo 3

Se cada autovalor tem multiplicidade geométrica igual a 1, então a soma das multiplicidades geométricas é igual ao número de autovalores distintos de A. Para que essa soma seja n (e então A seja diagonalizável), seria preciso que o número de autovalores distintos fosse n. Ou seja, cada autovalor deveria ter multiplicidade algébrica igual a 1.
Mas a hipótese “multiplicidade geométrica =1não impede que algum autovalor tenha multiplicidade algébrica maior que 1. Nesses casos teríamos
mu< >=ométrica = 1 < mu< algébrica > 1, éé
impedindo a diagonalização.

Passo 4

Contrapor exemplo. Considere a matriz de Jordan de ordem 2:
A = 1 & 1 0 & 1
O único autovalor é lambda=1, com:
  • multiplicidade algébrica =2,
  • multiplicidade geométrica =dimker(A-I)=1.
Logo a hipótese “todo autovalor tem multiplicidade geométrica 1” está satisfeita. Porém não há base de K^2 formada por dois autovetores, pois só existe uma direção de autovetores. Portanto A não é diagonalizável.

Resposta

A afirmação é falsa.

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