Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Se todo autovalor de um operador ou matriz tem multiplicidade geométrica 1, então A é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Se todo autovalor de um operador (ou matriz) tem multiplicidade geométrica igual a , então é diagonalizável.”
Aqui vamos usar os conceitos de multiplicidade algébrica, multiplicidade geométrica e o critério de diagonalização de matrizes.
Passo 2
Lembramos que uma matriz de ordem é diagonalizável se, e somente se, existe uma base de formada por autovetores de . Isso equivale a dizer que a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores é .
Além disso, para cada autovalor vale sempre
e a soma das multiplicidades algébricas, contando repetições, é .
Passo 3
Se cada autovalor tem multiplicidade geométrica igual a , então a soma das multiplicidades geométricas é igual ao número de autovalores distintos de . Para que essa soma seja (e então seja diagonalizável), seria preciso que o número de autovalores distintos fosse . Ou seja, cada autovalor deveria ter multiplicidade algébrica igual a .
Mas a hipótese “multiplicidade geométrica ” não impede que algum autovalor tenha multiplicidade algébrica maior que . Nesses casos teríamos
impedindo a diagonalização.
Passo 4
Contrapor exemplo. Considere a matriz de Jordan de ordem :
O único autovalor é lambda=1, com:
multiplicidade algébrica =2,
multiplicidade geométrica =dimker(A-I)=1.
Logo a hipótese “todo autovalor tem multiplicidade geométrica 1” está satisfeita. Porém não há base de K^2 formada por dois autovetores, pois só existe uma direção de autovetores. Portanto Anão é diagonalizável.