Determine os valores de k in R de forma que seja diagonalizável a matriz, A=[ccc1 & k & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1].

Passo 1

O enunciado pede os valores de kinR tais que a matriz
A = 1 & k & 0[6pt] 0 & 2 & 0[6pt] 0 & 0 & 1
seja diagonalizável. O conteúdo principal aqui é diagonalização de matrizes: vamos usar o polinômio característico para achar autovalores e suas multiplicidades algébricas, depois verificar as dimensões dos autespaços (multiplicidades geométricas) para checar a condição de diagonalizabilidade.]

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A. Como A é triangular,
chiA(lambda) =det(A-lambda I) =(1-lambda),(2-lambda),(1-lambda) =(2-lambda),(1-lambda)^2
Logo, os autovalores são
lambda1=1 com multiplicidade algébrica 2 e lambda2=2 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Para A ser diagonalizável, cada autovalor deve ter multiplicidade geométrica igual à sua multiplicidade algébrica. Como lambda2=2 tem mult. algébrica 1, seu autespaço terá dimensão 1 automaticamente. Resta verificar lambda1=1, cuja mult. algébrica é 2.

Passo 4

Vamos achar o autespaço de
Chamando , o sistema
Da segunda equação vem e ficam livres. Portanto o autespaço correspondente a tem dimensão , exatamente a multiplicidade algébrica.

Passo 5

Vimos que, para qualquer k, a geomult l(lambda=1r)=2 e a geomult l(lambda=2r)=1 coincidem com as mult. algébricas. Assim A é diagonalizável para todo kinR.

Resposta

A matriz A é diagonalizável para todo kinR.

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