Determine os valores de de forma que seja diagonalizável a matriz, .
Passo 1
O enunciado pede os valores de kinR tais que a matriz
A = 1 & k & 0[6pt] 0 & 2 & 0[6pt] 0 & 0 & 1
seja diagonalizável. O conteúdo principal aqui é diagonalização de matrizes: vamos usar o polinômio característico para achar autovalores e suas multiplicidades algébricas, depois verificar as dimensões dos autespaços (multiplicidades geométricas) para checar a condição de diagonalizabilidade.]
Passo 2
Calculemos o polinômio característico de A. Como A é triangular,
Logo, os autovalores são lambda1=1 com multiplicidade algébrica 2 e lambda2=2 com multiplicidade algébrica 1.
Passo 3
Para A ser diagonalizável, cada autovalor deve ter multiplicidade geométrica igual à sua multiplicidade algébrica. Como lambda2=2 tem mult. algébrica 1, seu autespaço terá dimensão 1 automaticamente. Resta verificar lambda1=1, cuja mult. algébrica é 2.
Passo 4
Vamos achar o autespaço de
Chamando , o sistema dá
Da segunda equação vem e ficam livres. Portanto o autespaço correspondente a tem dimensão , exatamente a multiplicidade algébrica.
Passo 5
Vimos que, para qualquer k, a geomultl(lambda=1r)=2 e a geomultl(lambda=2r)=1 coincidem com as mult. algébricas. Assim A é diagonalizável para todo kinR.