Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Se lambda for um autovalor de uma matriz A, então o sistema linear (lambda I-A) X=0 só tem a solução trivial X=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação “se lambda é autovalor de A então o sistema (lambda I - A)X = 0 só tem a solução trivial X=0” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve definição de autovalor e caráter singular da matriz lambda I - A.

Passo 2

Por definição, lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo Xneq 0 tal que
A,X = lambda,X
Reescrevendo, obtemos
(A - lambda I),X = 0 Long<=ftrightarrow (lambda I - A),X = 0
Isso mostra que o sistema homogêneo (lambda I - A)X=0 admite solução não trivial Xneq 0, logo lambda I - A é singular.

Passo 3

A afirmação original diz o contrário (que só existe a solução trivial), por isso ela é falsa.

Resposta

Falsa

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