Considere as matrizes abaixo
A=[rrrr 2 & 3 & 4 & 1 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & 1 3 & 4 & 5 & 1 ], B=[rrrr 1 & 1 & 4 & 2 1 & 2 & 3 & 0 1 & 3 & 2 & -2 1 & 4 & 1 & -4 ], C=[rr 1 & 1 -1 & 0 1 & 1 -1 & 1 ], D=[l 0 1 2 0 ] e E=[c 4 6 8 10 ]
  • Calcule cada determinante abaixo: b) det B

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
B = 1 & 1 & 4 & 2 1 & 2 & 3 & 0 1 & 3 & 2 & -2 1 & 4 & 1 & -4
e pede det B. Vamos usar operações elementares para simplificar e, em seguida, um desenvolvimento por cofactor.

Passo 2

Subtraímos a primeira linha de todas as demais, o que não altera o valor de det B:
R2 & R2 - R1 = (0,;1,;-1,;-2), R3 & R3 - R1 = (0,;2,;-2,;-4), R4 & R4 - R1 = (0,;3,;-3,;-6)
A matriz fica
1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & -1 & -2 0 & 2 & -2 & -4 0 & 3 & -3 & -6

Passo 3

Fazemos agora o desenvolvimento de Laplace ao longo da primeira coluna. Como apenas o elemento da posição (1,1) é não-nulo,
det B = 1 times det 1 & -1 & -2 2 & -2 & -4 3 & -3 & -6

Passo 4

Observamos que as linhas dessa matriz 3times3 são proporcionais:
(2,-2,-4) = 2,(1,-1,-2), (3,-3,-6) = 3,(1,-1,-2)
Logo, as linhas são linearmente dependentes e
det 1 & -1 & -2 2 & -2 & -4 3 & -3 & -6 = 0

Resposta

det B = 0

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