Considere as matrizes abaixo
A=[rrrr 2 & 3 & 4 & 1 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & 1 3 & 4 & 5 & 1 ], B=[rrrr 1 & 1 & 4 & 2 1 & 2 & 3 & 0 1 & 3 & 2 & -2 1 & 4 & 1 & -4 ], C=[rr 1 & 1 -1 & 0 1 & 1 -1 & 1 ], D=[l 0 1 2 0 ] e E=[c 4 6 8 10 ]
  • Calcule cada determinante abaixo
    a) det A

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det A, onde
A= 2 & 3 & 4 & 1 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & 1 3 & 4 & 5 & 1
Vamos usar eliminação de Gauss para triangularizar A e aplicar as propriedades de determinante sob troca de linhas e adição de múltiplos de linhas.

Passo 2

Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2. Esta operação inverte o sinal do determinante, ou seja,
det A = -det A',
onde
A'= 1 & 1 & 1 & 1 2 & 3 & 4 & 1 0 & -1 & -1 & 1 3 & 4 & 5 & 1

Passo 3

Eliminamos os elementos abaixo de a'11=1 usando a linha 1 como pivô, somando ou subtraindo múltiplos dela das outras linhas. Essas operações não alteram o determinante. Obtemos
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & -1 0 & -1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & -2

Passo 4

Agora usamos o pivô 1 em posição (2,2) para zerar abaixo. Somando a linha 2 à linha 3 e subtraindo-a da linha 4 (operações que não mudam det), chegamos a
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & -1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1
Esta é uma matriz triangular superior.

Passo 5

O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim, o determinante de A' é
det A' = 1 cdot 1 cdot 1 cdot (-1) = -1
Como fizemos uma troca de linhas no Passo 2, voltamos ao determinante de A com sinal trocado:
det A = -det A' = -(-1) = 1

Resposta

det A = 1

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