Sejam A=[rr1 & 2 4 & -3], f(x)=2 x^3-4 x+5 e g(x)=x^2+2 x+11. Determine: f(A)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 4 & -3
e o polinômio
f(x)=2x^3-4x+5
Para calcular f(A) vamos usar a definição de polinômio de matriz:
f(A)=2A^3-4A+5I,
onde I é a matriz identidade 2times2.

Passo 2

Calculamos primeiro A^2 multiplicando A por si mesma:
A^2 = Acdot A = 1 & 2 4 & -3 1 & 2 4 & -3 = 1cdot1 + 2cdot4 & 1cdot2 + 2cdot(-3) 4cdot1 + (-3)cdot4 & 4cdot2 + (-3)cdot(-3) = 9 & -4 -8 & 17

Passo 3

Agora obtemos A^3 multiplicando A por A^2:
A^3 = Acdot A^2 = 1 & 2 4 & -3 9 & -4 -8 & 17 = 1cdot9 + 2cdot(-8) & 1cdot(-4) + 2cdot17 4cdot9 + (-3)cdot(-8) & 4cdot(-4) + (-3)cdot17 = -7 & 30 60 & -67

Passo 4

Calculamos separadamente cada termo de f(A)=2A^3-4A+5I:
2A^3 = 2cdot-7 & 30 60 & -67 = -14 & 60 120 & -134,
-4A = -4cdot1 & 2 4 & -3 = -4 & -8 -16 & 12,
5I = 5cdot1 & 0 0 & 1 = 5 & 0 0 & 5

Passo 5

Somamos termo a termo para obter f(A):
f(A) = -14 & 60 120 & -134 + -4 & -8 -16 & 12 + 5 & 0 0 & 5 = -14 -4 +5 & 60 -8 +0 120 -16 +0 & -134 +12 +5 = -13 & 52 104 & -117

Resposta

f(A) = -13 & 52 104 & -117

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