Considere as matrizes abaixo e faça o que se pede:
M & =(lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ) & N=(rrr 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 7 ) & O=(ll 0 & 1 1 & 0 )
(f) Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se sua transposta é igual a sua inversa, isto é, se A cdot A^t=I, onde I é a matriz identidade. Quais das matrizes acima são ortogonais? Determine para quais valores de a e b a matriz S é ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das matrizes
M = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , N = 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 7 , O = 0 & 1 1 & 0
são ortogonais, lembrando que uma matriz quadrada A é ortogonal se
A,A^t = I
Além disso, o enunciado menciona uma matriz S com parâmetros a,b, mas não fornece sua forma explícita.

Passo 2

Verificamos primeiro quais matrizes são quadradas.
M é 3times3, N é 2times3 (não quadrada) e O é 2times2.
Logo, apenas M e O podem ser ortogonais.

Passo 3

Calcular M,M^t.
M^t = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , M,M^t = 1&0&10&1&00&0&1 1&0&00&1&01&0&1 = 2 & 0 & 2 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 ,
que claramente não é a identidade, pois, por exemplo, o elemento (1,1) vale 2 em vez de 1. Então M não é ortogonal.

Passo 4

Calcular O,O^t.
O^t = O = 0&11&0, O,O^t = 0&11&0 0&11&0 = 1&00&1 = I2
Logo O é ortogonal.

Passo 5

N não é quadrada, portanto não pode ser ortogonal.
A matriz S não foi fornecida no enunciado, então não há como determinar para quais a,b ela seria ortogonal.

Resposta

M não é ortogonal.
N não é quadrada (logo não ortogonal).
O é ortogonal.
Não é possível determinar os valores de a,b para a matriz S, pois sua forma não foi dada.

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