M & =(lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ) & N=(rrr 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 7 ) & O=(ll 0 & 1 1 & 0 )
(a) Determine quais destas matrizes são simétricas. E antisimétricas?

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes
M = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1, N = 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 7, O = 0 & 1 1 & 0,
e pede para identificar quais são simétricas (isto é, que satisfazem A^T = A) e quais são antissimétricas (isto é, que satisfazem A^T = -A).

Passo 2

Lembrando que somente matrizes quadradas podem ser simétricas ou antissimétricas, logo N (que é 2times3) não se enquadra em nenhuma das duas categorias.

Passo 3

Vamos checar M. Primeiro seu transposto:
M^T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Claramente M^T neq M e também M^T neq -M. Portanto M não é nem simétrica nem antissimétrica.

Passo 4

Agora a matriz O. Seu transposto é
O^T = 0 & 1 1 & 0 = O,
logo O é simétrica. Para verificar antissimetria, comparamos com -O:
-O = 0 & -1 -1 & 0 ,
e vemos que O^T = O neq -O. Logo O não é antissimétrica.

Resposta

A única matriz simétrica é O. Nenhuma das matrizes é antissimétrica.

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