2 - (a) Seja A uma matriz inversível de ordem n times n. Mostre que para qualquer matriz B de ordem n times m existe uma matriz X de ordem n times m tal que A cdot X=B.
(c) Seja A uma matriz inversível de ordem n times n. Mostre que para qualquer matriz B de ordem m times n existe uma matriz X de ordem m times n tal que X cdot A=B.

Passo 1

O enunciado trata de resolver equações matriciais do tipo
A X = B
e
X A = B
quando A é uma matriz inversível de ordem ntimes n. O conteúdo é álgebra linear básico: usar a definição de inversa de A para “isolar” X. Vamos precisar apenas da propriedade
A^-1A = AA^-1 = In

Passo 2

Como A é inversível, existe A^-1 de ordem ntimes n tal que
A^-1 cdot A = In e A cdot A^-1 = In

Passo 3

(a) Dada BinR^ntimes m, proponha
X = A^-1 cdot B,
que tem ordem (ntimes n)cdot(ntimes m)=ntimes m. Então
Acdot X = Acdot(A^-1B) = (A A^-1)B = In B = B,
logo X satisfaz A X = B.

Passo 4

(c) Dada BinR^mtimes n, proponha
X = B cdot A^-1,
que tem ordem (mtimes n)cdot(ntimes n)=mtimes n. Então
Xcdot A = (B A^-1)A = B,(A^-1A) = B In = B,
logo X satisfaz X A = B.

Resposta

(a) Uma solução é X = A^-1B.
(c) Uma solução é X = BA^-1.

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