Considere as matrizes abaixo:
M=(lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ), N=(ccc 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 7 ), O=(ll 0 & 1 1 & 0 ), T=(cc 3 & 1 0 & 2 1 & -1 ), P=(ll 2 & -1 8 & -4 ), Q=(ll 0 & 1 0 & 2 ), R=(ll 1 & 1 0 & 2 ), S=(ll a & 0 0 & b )
Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se sua transposta é igual à sua inversa, isto é, se A cdot A^t=I, onde I é a matriz identidade. Quais das matrizes acima são ortogonais? Determine para quais valores de a e b a matriz S é ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quais das matrizes dadas são ortogonais. Para isso, vamos usar o conceito de matrizes ortogonais, que são aquelas cuja transposta é igual à inversa, ou seja, se A cdot A^t = I, onde I é a matriz identidade. Vamos analisar cada matriz uma por uma e, no final, descobrir quais valores de a e b fazem a matriz S ser ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. É basicamente “espelhar” a matriz em relação à sua diagonal principal. Por exemplo, se tivermos uma matriz A, sua transposta A^t troca as linhas pelas colunas.

Passo 3

Agora, vamos começar verificando a matriz M:
M = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Calculando a transposta M^t:
M^t = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Agora, multiplicamos M por M^t:
M cdot M^t = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 cdot 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 = 2 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Como M cdot M^t neq I, M não é uma matriz ortogonal.

Passo 4

Agora, vamos para a matriz N:
N = 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 7
Note que N não é quadrada (tem 2 linhas e 3 colunas), e para ser ortogonal, a matriz precisa ser quadrada. Então, N não é ortogonal.

Passo 5

Vamos analisar a matriz O:
O = 0 & 1 1 & 0
Calculando a transposta O^t:
O^t = 0 & 1 1 & 0
Multiplicando O por O^t:
O cdot O^t = 0 & 1 1 & 0 cdot 0 & 1 1 & 0 = 1 & 0 0 & 1 = I
Como O cdot O^t = I, a matriz O é ortogonal.

Passo 6

Agora, vamos para a matriz T:
T = 3 & 1 0 & 2 1 & -1
Novamente, T não é quadrada (tem 3 linhas e 2 colunas), então não pode ser ortogonal. Assim, T não é ortogonal.

Passo 7

Vamos verificar a matriz P:
P = 2 & -1 8 & -4
Calculando a transposta P^t:
P^t = 2 & 8 -1 & -4
Multiplicando P por P^t:
P cdot P^t = 2 & -1 8 & -4 cdot 2 & 8 -1 & -4 = 5 & 20 20 & 80
Como P cdot P^t neq I, P não é ortogonal.

Passo 8

Agora, a matriz Q:
Q = 0 & 1 0 & 2
Calculando a transposta Q^t:
Q^t = 0 & 0 1 & 2
Multiplicando Q por Q^t:
Q cdot Q^t = 0 & 1 0 & 2 cdot 0 & 0 1 & 2 = 1 & 2 2 & 4
Como Q cdot Q^t neq I, Q não é ortogonal.

Passo 9

Vamos analisar a matriz R:
R = 1 & 1 0 & 2
Calculando a transposta R^t:
R^t = 1 & 0 1 & 2
Multiplicando R por R^t:
R cdot R^t = 1 & 1 0 & 2 cdot 1 & 0 1 & 2 = 2 & 2 2 & 4
Como R cdot R^t neq I, R não é ortogonal.

Passo 10

Por fim, vamos verificar a matriz [S):
Calculando a transposta :
Multiplicando por :
Para que , precisamos que:
Resolvendo essas equações, temos que .

Resposta

Das matrizes apresentadas, apenas a matriz O é ortogonal. A matriz S será ortogonal se a = pm 1 e b = pm 1.

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