Considere as matrizes abaixo:
M=(lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ), N=(ccc 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 7 ), O=(ll 0 & 1 1 & 0 ), T=(cc 3 & 1 0 & 2 1 & -1 ), P=(ll 2 & -1 8 & -4 ), Q=(ll 0 & 1 0 & 2 ), R=(ll 1 & 1 0 & 2 ), S=(ll a & 0 0 & b )
Uma potência da matriz M é um produto da forma M cdot M cdot ldots cdot M. Calcule as seguintes potências: M^2, M^3 e M^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as potências da matriz M , ou seja, M^2 , M^3 e M^4 . O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente a multiplicação de matrizes. Para resolver, precisamos saber como multiplicar duas matrizes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se temos duas matrizes A de dimensão m times n e B de dimensão n times p , o produto AB será uma matriz de dimensão m times p . Cada elemento cij de AB é calculado multiplicando os elementos da i -ésima linha de A pelos elementos da j -ésima coluna de B e somando esses produtos.

Passo 3

Vamos começar calculando M^2 , que é M multiplicada por M :
M = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Então,
M^2 = M times M = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 times 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Vamos multiplicar as matrizes passo a passo:
  • Elemento (1,1):
1 times 1 + 0 times 0 + 1 times 0 = 1 + 0 + 0 = 1
  • Elemento (1,2):
1 times 0 + 0 times 1 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (1,3):
1 times 1 + 0 times 0 + 1 times 1 = 1 + 0 + 1 = 2
  • Elemento (2,1):
0 times 1 + 1 times 0 + 0 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (2,2):
0 times 0 + 1 times 1 + 0 times 0 = 0 + 1 + 0 = 1
  • Elemento (2,3):
0 times 1 + 1 times 0 + 0 times 1 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (3,1):
0 times 1 + 0 times 0 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (3,2):
0 times 0 + 0 times 1 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (3,3):
0 times 1 + 0 times 0 + 1 times 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Passo 5

Agora, juntando todos os elementos calculados, temos:
M^2 = 1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 6

Vamos calcular agora M^3 , que é M^2 multiplicada por M :
M^3 = M^2 times M = 1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 times 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 7

Multiplicando as matrizes:
  • Elemento (1,1):
1 times 1 + 0 times 0 + 2 times 0 = 1 + 0 + 0 = 1
  • Elemento (1,2):
1 times 0 + 0 times 1 + 2 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (1,3):
1 times 1 + 0 times 0 + 2 times 1 = 1 + 0 + 2 = 3
  • Elemento (2,1):
0 times 1 + 1 times 0 + 0 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (2,2):
0 times 0 + 1 times 1 + 0 times 0 = 0 + 1 + 0 = 1
  • Elemento (2,3):
0 times 1 + 1 times 0 + 0 times 1 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (3,1):
0 times 1 + 0 times 0 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (3,2):
0 times 0 + 0 times 1 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (3,3):
0 times 1 + 0 times 0 + 1 times 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Passo 8

Juntando os elementos, temos:
M^3 = 1 & 0 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 9

Por fim, vamos calcular M^4 , que é M^3 multiplicada por M :
M^4 = M^3 times M = 1 & 0 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 times 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 10

Multiplicando as matrizes:
  • Elemento (1,1):
1 times 1 + 0 times 0 + 3 times 0 = 1 + 0 + 0 = 1
  • Elemento (1,2):
1 times 0 + 0 times 1 + 3 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (1,3):
1 times 1 + 0 times 0 + 3 times 1 = 1 + 0 + 3 = 4
  • Elemento (2,1):
0 times 1 + 1 times 0 + 0 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (2,2):
0 times 0 + 1 times 1 + 0 times 0 = 0 + 1 + 0 = 1
  • Elemento (2,3):
0 times 1 + 1 times 0 + 0 times 1 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (3,1):
0 times 1 + 0 times 0 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (3,2):
0 times 0 + 0 times 1 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (3,3):
0 times 1 + 0 times 0 + 1 times 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Passo 11

Assim, a matriz M^4 fica:
M^4 = 1 & 0 & 4 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

As potências calculadas da matriz M são:
M^2 = 1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , M^3 = 1 & 0 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , M^4 = 1 & 0 & 4 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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