Uma potência da matriz M é um produto da forma M cdot M cdot ldots cdot M. Calcule as seguintes potências: M^2, M^3 e M^4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as potências da matriz M , ou seja, M^2 , M^3 e M^4 . O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente a multiplicação de matrizes. Para resolver, precisamos saber como multiplicar duas matrizes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se temos duas matrizes A de dimensão m times n e B de dimensão n times p , o produto AB será uma matriz de dimensão m times p . Cada elemento cij de AB é calculado multiplicando os elementos da i -ésima linha de A pelos elementos da j -ésima coluna de B e somando esses produtos.
Passo 3
Vamos começar calculando M^2 , que é M multiplicada por M :
M = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Então,
M^2 = M times M = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 times 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Passo 4
Vamos multiplicar as matrizes passo a passo:
Elemento (1,1):
1 times 1 + 0 times 0 + 1 times 0 = 1 + 0 + 0 = 1
Elemento (1,2):
1 times 0 + 0 times 1 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
Elemento (1,3):
1 times 1 + 0 times 0 + 1 times 1 = 1 + 0 + 1 = 2
Elemento (2,1):
0 times 1 + 1 times 0 + 0 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
Elemento (2,2):
0 times 0 + 1 times 1 + 0 times 0 = 0 + 1 + 0 = 1
Elemento (2,3):
0 times 1 + 1 times 0 + 0 times 1 = 0 + 0 + 0 = 0
Elemento (3,1):
0 times 1 + 0 times 0 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
Elemento (3,2):
0 times 0 + 0 times 1 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
Elemento (3,3):
0 times 1 + 0 times 0 + 1 times 1 = 0 + 0 + 1 = 1
Passo 5
Agora, juntando todos os elementos calculados, temos:
M^2 = 1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Passo 6
Vamos calcular agora M^3 , que é M^2 multiplicada por M :