Dado v=(2,3,4) e u(1,-1,0) determine as projeções de v em u e de u em v.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as projeções de v=(2,3,4) em u=(1,-1,0) e de u em v. Esse conteúdo usa o produto escalar e a norma ao quadrado para extrair a componente de um vetor ao longo de outro.

Passo 2

Para projetar v em u usamos a fórmula
proju(v) =vcdotu|u|^2,u
Primeiro calculamos o produto escalar e a norma ao quadrado de u:
vcdotu =2cdot1 + 3cdot(-1) + 4cdot0 = 2 - 3 + 0 = -1, |u|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2
Logo o escalar é tfrac-12 e
proju(v) =-12,(1,-1,0) =l(-tfrac12,;tfrac12,;0r)

Passo 3

Para projetar u em v aplicamos
projv(u) =ucdotv|v|^2,v
Calculamos
ucdotv =1cdot2 + (-1)cdot3 + 0cdot4 = 2 - 3 + 0 = -1, |v|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 = 4 + 9 + 16 = 29
O escalar é tfrac-129 e
projv(u) =-129,(2,3,4) =l(-tfrac229,;-tfrac329,;-tfrac429r)

Resposta

proju(v) = l(-tfrac12,;tfrac12,;0r)
projv(u) = l(-tfrac229,;-tfrac329,;-tfrac429r)

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