Resolva os sistemas lineares abaixo colocando-os na forma matricial e usando inversão de matrizes. Nos itens (c) e (d), use informações da questão 1 (a).
(c) x+y+z & =1 2 y+z & =4 x+y+4 z & =1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x + y + z = 1, 2y + z = 4, x + y + 4z = 1
usando forma matricial e inversão de matrizes. Vamos colocar isso como Ax=b e depois calcular x=A^-1b.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, temos
A = 1 & 1 & 1 [-4pt] 0 & 2 & 1 [-4pt] 1 & 1 & 4 , x = x[-2pt]y[-2pt]z, b = 1[-2pt]4[-2pt]1 ]

Passo 3

Calcular o determinante de A. Pela regra de Sarrus ou expansão por cofatores em primeira linha,
det(A) =1cdotdet2&11&4 -1cdotdet0&11&4 +1cdotdet0&21&1 =7-(-1)+(-2)=6

Passo 4

Formar a matriz de cofatores C de A. Calculando cada cofator Cij e depois transpondo, obtemos a adjunta adj(A):
C = 7 & 1 & -2 -3 & 3 & 0 -1 & -1 & 2 Longrightarrow adj(A)=C^T = 7 & -3 & -1 1 & 3 & -1 -2 & 0 & 2

Passo 5

Como det(A)=6, a inversa é
A^-1 = 16,adj(A) = 16 7 & -3 & -1 1 & 3 & -1 -2 & 0 & 2

Passo 6

Multiplicamos A^-1 por b:
A^-1b =16 7 & -3 & -1 1 & 3 & -1 -2 & 0 & 2 141 =16 7-12-1 1+12-1 -2+0+2 =16-6120 =-120

Resposta

(x,y,z)=(-1,2,0)

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