Prove que se um operador linear
preserva o produto interno, ou seja,
para todos
, então
é injetora.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço pré-hilbertiano
e um operador linear
tal que, para todo
,
Queremos mostrar que
é injetora, isto é, que
. Vamos usar a ideia de que preservar o produto interno implica preservar norma e que só o vetor zero tem norma zero.
Passo 2
Mostramos primeiro que
preserva norma. Tomando
na hipótese, obtemos
Mas
e
. Logo
ou seja,
.
Passo 3
Para ver injeção, considere um vetor
tal que
. Então
Pela igualdade de normas,
. Mas num espaço com produto interno,
implica
.
Resposta
Portanto
e
é injetora.