Prove que se um operador linear T: V V preserva o produto interno, ou seja, lang<= T(u), T(v)rang<==lang<=u, vrang<= para todos u, v in V, então T é injetora.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço pré-hilbertiano V e um operador linear T:Vto V tal que, para todo u, vin V,
lang<= T( u),,T( v)rang<= ;=;lang<= u,, vrang<=
Queremos mostrar que T é injetora, isto é, que ker T=0. Vamos usar a ideia de que preservar o produto interno implica preservar norma e que só o vetor zero tem norma zero.

Passo 2

Mostramos primeiro que T preserva norma. Tomando v= u na hipótese, obtemos
lang<= T( u),T( u)rang<= ;=; lang<= u, urang<=
Mas lang<= T( u),T( u)rang<==|T( u)|^2 e lang<= u, urang<==| u|^2. Logo
|T( u)|^2 = | u|^2,
ou seja, |T( u)|=| u|.

Passo 3

Para ver injeção, considere um vetor u tal que T( u)=0. Então
|T( u)| = |0| = 0
Pela igualdade de normas, | u|=0. Mas num espaço com produto interno, | u|=0 implica u=0.

Resposta

Portanto ker T=0 e T é injetora.

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