(b) (1.5 pontos) Se possível, escreva R e sua inversa como produto de matrizes elementares.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a matriz R = 1 & 3 0 & 3 e precisamos escrever R e sua inversa R^-1 como produto de matrizes elementares. Para isso, vamos precisar entender o que são essas matrizes elementares e como elas se relacionam com R e R^-1 .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são matrizes elementares. Matrizes elementares são matrizes que representam operações básicas de linha, como trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero ou adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações são fundamentais para resolver sistemas lineares e calcular inversas de matrizes.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar uma sequência de operações elementares que, quando aplicadas à matriz identidade, resultem na matriz R . Cada operação correspondente será representada por uma matriz elementar, e o produto dessas matrizes elementares dará R .
Passo 4
Vamos começar com a matriz identidade de ordem 2:
I = 1 & 0 0 & 1
Queremos transformar I em R = 1 & 3 0 & 3 usando operações elementares.
Passo 5
Observamos que a segunda linha de R já tem um zero na primeira posição, assim como na identidade. Vamos focar na primeira linha. Para transformar o segundo elemento da primeira linha de 0 para 3, podemos adicionar 3 vezes a segunda linha à primeira linha.
A operação é: L1 L1 + 3L2
A matriz elementar correspondente a essa operação é:
Portanto, a matriz R pode ser escrita como o produto das matrizes elementares E2 e E1 :
R = E2 cdot E1
Passo 9
Agora, para encontrar a inversa R^-1 , sabemos que a inversa do produto de matrizes elementares é o produto das inversas dessas matrizes em ordem inversa.