Considere as matrizes
N=[ccc 2 & 2 & 0 -1 & 3 & 7 ], R=[cc 1 & 3 0 & 3 ]
(b) (1.5 pontos) Se possível, escreva R e sua inversa como produto de matrizes elementares.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a matriz R = 1 & 3 0 & 3 e precisamos escrever R e sua inversa R^-1 como produto de matrizes elementares. Para isso, vamos precisar entender o que são essas matrizes elementares e como elas se relacionam com R e R^-1 .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são matrizes elementares. Matrizes elementares são matrizes que representam operações básicas de linha, como trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero ou adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações são fundamentais para resolver sistemas lineares e calcular inversas de matrizes.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma sequência de operações elementares que, quando aplicadas à matriz identidade, resultem na matriz R . Cada operação correspondente será representada por uma matriz elementar, e o produto dessas matrizes elementares dará R .

Passo 4

Vamos começar com a matriz identidade de ordem 2:
I = 1 & 0 0 & 1
Queremos transformar I em R = 1 & 3 0 & 3 usando operações elementares.

Passo 5

Observamos que a segunda linha de R já tem um zero na primeira posição, assim como na identidade. Vamos focar na primeira linha. Para transformar o segundo elemento da primeira linha de 0 para 3, podemos adicionar 3 vezes a segunda linha à primeira linha.
A operação é: L1 L1 + 3L2
A matriz elementar correspondente a essa operação é:
E1 = 1 & 3 0 & 1

Passo 6

Aplicando E1 à identidade:
E1 cdot I = 1 & 3 0 & 1 cdot 1 & 0 0 & 1 = 1 & 3 0 & 1
Agora, precisamos transformar a segunda linha de 1 para 3. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 3.
A operação é: L2 3L2
A matriz elementar correspondente é:
E2 = 1 & 0 0 & 3

Passo 7

Aplicando E2 à matriz resultante:
E2 cdot E1 cdot I = 1 & 0 0 & 3 cdot 1 & 3 0 & 1 = 1 & 3 0 & 3 = R

Passo 8

Portanto, a matriz R pode ser escrita como o produto das matrizes elementares E2 e E1 :
R = E2 cdot E1

Passo 9

Agora, para encontrar a inversa R^-1 , sabemos que a inversa do produto de matrizes elementares é o produto das inversas dessas matrizes em ordem inversa.
Primeiro, encontramos E2^-1 e E1^-1 .
A inversa de E1 = 1 & 3 0 & 1 é:
E1^-1 = 1 & -3 0 & 1
A inversa de E2 = 1 & 0 0 & 3 é:
E2^-1 = 1 & 0 0 & 13

Passo 10

Então, a inversa de R é:
R^-1 = E1^-1 cdot E2^-1 = 1 & -3 0 & 1 cdot 1 & 0 0 & 13 = 1 & -1 0 & 13

Resposta

A matriz R e sua inversa podem ser escritas como:
R = E2 cdot E1 = 1 & 0 0 & 3 cdot 1 & 3 0 & 1
R^-1 = E1^-1 cdot E2^-1 = 1 & -3 0 & 1 cdot 1 & 0 0 & 13 = 1 & -1 0 & 13

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