Considere as matrizes
N=[ccc 2 & 2 & 0 -1 & 3 & 7 ], R=[cc 1 & 3 0 & 3 ]
(c) (1 ponto) Seja A uma matriz invertível de ordem n times n. Mostre que, para qualquer matriz B de ordem m times n, existe uma matriz X de ordem n times m tal que A cdot X=B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se A é uma matriz quadrada invertível de ordem n times n , então para qualquer matriz B de ordem m times n , existe uma matriz X de ordem n times m tal que A cdot X = B . Estamos lidando com matrizes e propriedades de matrizes invertíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como podemos manipular equações matriciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz A é invertível se existe outra matriz A^-1 tal que:
A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I
onde I é a matriz identidade de ordem n times n .

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma matriz X que satisfaça a equação A cdot X = B . Para isolar X , podemos multiplicar ambos os lados da equação pela matriz inversa A^-1 à esquerda:
A^-1 cdot (A cdot X) = A^-1 cdot B

Passo 4

Usando a propriedade de associatividade da multiplicação de matrizes, podemos reescrever o lado esquerdo:
(A^-1 cdot A) cdot X = A^-1 cdot B
E sabemos que A^-1 cdot A = I , então:
I cdot X = A^-1 cdot B

Passo 5

A matriz identidade I multiplicada por qualquer matriz X resulta em X mesmo:
X = A^-1 cdot B

Passo 6

Portanto, definindo X como A^-1 cdot B , garantimos que:
A cdot X = A cdot (A^-1 cdot B) = (A cdot A^-1) cdot B = I cdot B = B

Resposta

A matriz X que satisfaz A cdot X = B é X = A^-1 cdot B .

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