(c) (1 ponto) Seja A uma matriz invertível de ordem n times n. Mostre que, para qualquer matriz B de ordem m times n, existe uma matriz X de ordem n times m tal que A cdot X=B.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se A é uma matriz quadrada invertível de ordem n times n , então para qualquer matriz B de ordem m times n , existe uma matriz X de ordem n times m tal que A cdot X = B . Estamos lidando com matrizes e propriedades de matrizes invertíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como podemos manipular equações matriciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz A é invertível se existe outra matriz A^-1 tal que:
A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I
onde I é a matriz identidade de ordem n times n .
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma matriz X que satisfaça a equação A cdot X = B . Para isolar X , podemos multiplicar ambos os lados da equação pela matriz inversa A^-1 à esquerda:
A^-1 cdot (A cdot X) = A^-1 cdot B
Passo 4
Usando a propriedade de associatividade da multiplicação de matrizes, podemos reescrever o lado esquerdo:
(A^-1 cdot A) cdot X = A^-1 cdot B
E sabemos que A^-1 cdot A = I , então:
I cdot X = A^-1 cdot B
Passo 5
A matriz identidade I multiplicada por qualquer matriz X resulta em X mesmo:
X = A^-1 cdot B
Passo 6
Portanto, definindo X como A^-1 cdot B , garantimos que:
A cdot X = A cdot (A^-1 cdot B) = (A cdot A^-1) cdot B = I cdot B = B
Resposta
A matriz X que satisfaz A cdot X = B é X = A^-1 cdot B .