Considere matrizes A e B tais que as inversas existam e as operações sejam possíveis. Prove as seguintes propriedades:
;
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove a propriedade ciclíca do traço, ou seja, que para matrizes quadradas A e B (com produtos definidos e inversas existentes) vale (\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA). O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente definição de traço e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Lembra que, por definição, o traço de uma matriz
de ordem
é a soma dos elementos da diagonal principal:
Passo 3
Vamos escrever
usando a definição: primeiro note que o elemento
é dado por
Logo
Passo 4
Agora fazemos a troca de ordem de soma e trocamos os índices
e
, o que não altera o valor da soma dupla:
Mas observe que
Passo 5
Com isso concluímos que
, como queríamos.