Considere matrizes A e B tais que as inversas existam e as operações sejam possíveis. Prove as seguintes propriedades:
traço(A B)=traço(B A)̧̧;

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove a propriedade ciclíca do traço, ou seja, que para matrizes quadradas A e B (com produtos definidos e inversas existentes) vale (\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA). O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente definição de traço e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Lembra que, por definição, o traço de uma matriz M de ordem n é a soma dos elementos da diagonal principal:
tr(M)=sumi=1^n Mii

Passo 3

Vamos escrever tr(AB) usando a definição: primeiro note que o elemento (AB)ii é dado por
(AB)ii=sumj=1^n Aij,Bji
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tr(AB)=sumi=1^n(AB)ii=sumi=1^nsumj=1^n Aij,Bji

Passo 4

Agora fazemos a troca de ordem de soma e trocamos os índices i e j, o que não altera o valor da soma dupla:
sumi=1^nsumj=1^n Aij,Bji=sumj=1^nsumi=1^n Bji,Aij
Mas observe que Bji,Aij é exatamente o termo (BA)jj. Portanto
sumj=1^nsumi=1^n Bji,Aij=sumj=1^n(BA)jj=tr(BA)

Passo 5

Com isso concluímos que tr(AB)=tr(BA), como queríamos.

Resposta

tr(AB)=tr(BA)

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