Matriz diagonal secundária é uma matriz quadrada do tipo: .
Considere uma matriz diagonal A e uma matriz diagonal secundária B :
a) Qual o tipo da matriz resultante nos produtos A B e B A ?
b) Sob quais condições vale a igualdade A B=B A ?
Passo 1
A questão dá uma matriz A diagonal (apenas elementos a₁₁, a₂₂, …, aₖₖ possivelmente não nulos) e uma matriz B que só tem elementos não nulos na diagonal secundária (posição (i,k+1−i)). Precisamos usar a definição de produto de matrizes para ver onde aparecem entradas não nulas em AB e em BA e depois comparar essas duas.
Passo 2
Para calcular (AB)₍ᵢⱼ₎, usamos a fórmula de produto de matrizes. Como A é diagonal, A₍ᵢₗ₎≠0 só se l=i. Logo
(AB)ij = suml=1^k Ail Blj = Aii,Bij = ai,Bij
Mas B_{ij} só é não nulo quando j = k+1−i (diagonal secundária). Então AB só tem entradas possíveis em (i,k+1−i), isto é, é outra matriz diagonal secundária.
Passo 3
O mesmo raciocínio vale para BA. Temos
(BA)ij = suml=1^k Bil Alj = Bij,Ajj = Bij,aj
De novo, B_{ij}≠0 só se i+j=k+1, então BA também é matriz diagonal secundária.
Passo 4
Para que AB = BA, basta que cada entrada anti‐diagonal seja igual nos dois produtos. Nas posições i,k+1−i precisamos de
ai,Bi,k+1-i = Bi,k+1-i,ak+1-i
Isso dá a condição
Bi,k+1-i,(ai - ak+1-i) = 0,
para todo i = 1,…,k.
Passo 5
Em resumo, AB e BA são matrizes diagonal secundária, e elas comutam se e somente se em cada posição da diagonal secundária tivermos ou B_{i,k+1-i}=0 ou a_i=a_{k+1-i}.
Resposta
AB e BA são matrizes diagonais secundárias. A igualdade AB = BA vale se, e somente se, para cada i, B_{i,k+1-i},(a_i - a_{k+1-i}) = 0, ou seja, em toda posição onde B tem elemento não nulo deve-se ter a_i = a_{k+1-i}.