Considere matrizes A e B tais que as inversas existam e as operações sejam possíveis. Prove as seguintes propriedades:
;

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos uma matriz invertível A e queremos mostrar que a inversa da transposta de A é igual à transposta da inversa de A. Para isso vamos usar a definição de matriz inversa e a propriedade de transposta de produto.

Passo 2

Como A é invertível, pela definição de inversa temos
A cdot A^-1 = I

Passo 3

Aplicamos a transposta em ambos os lados da equação. Sabemos que a transposta da identidade é ela própria, então
(A cdot A^-1)^t = I^t = I

Passo 4

Usamos a propriedade de transposta de produto, que diz (X cdot Y)^t = Y^t cdot X^t. Assim,
(A cdot A^-1)^t = (A^-1)^t cdot A^t
Logo
(A^-1)^t cdot A^t = I

Passo 5

A igualdade (A^-1)^t cdot A^t = I mostra que (A^-1)^t é inversa de A^t. Pela unicidade da inversa, concluímos que a inversa de A^t é exatamente (A^-1)^t.

Resposta

(At){-1} = (A{-1})t

Exercícios relacionados