Considere matrizes A e B tais que as inversas existam e as operações sejam possíveis. Prove as seguintes propriedades:
;
Passo 1
Resumimos o enunciado: temos uma matriz invertível
e queremos mostrar que a inversa da transposta de
é igual à transposta da inversa de
. Para isso vamos usar a definição de matriz inversa e a propriedade de transposta de produto.
Passo 2
Como
é invertível, pela definição de inversa temos
Passo 3
Aplicamos a transposta em ambos os lados da equação. Sabemos que a transposta da identidade é ela própria, então
Passo 4
Usamos a propriedade de transposta de produto, que diz
. Assim,
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Passo 5
A igualdade
mostra que
é inversa de
. Pela unicidade da inversa, concluímos que a inversa de
é exatamente
.
Resposta
(At){-1} = (A{-1})t