Considere matrizes A e B tais que as inversas existam e as operações sejam possíveis. Prove as seguintes propriedades:
Seja uma matriz qualquer Ak times k, para k=3, mostre que |c A|=c^k|A| e que |A B|=||B|||A|.

Passo 1

Temos uma matriz quadrada A de ordem k=3 e queremos provar as duas propriedades típicas do determinante: homogeneidade ( |c A| = c^k| A|) e multiplicatividade ( |AB| = | A|,| B|). Vamos usar a definição de determinante como função multilinear alternante em colunas e, para o caso 3times3, podemos recorrer também à regra de Sarrus.

Passo 2

Lembrete de teoria: o determinante é multilinear em cada coluna (ou linha) e alternante. Multilinear significa que, se multiplicamos uma coluna por um escalar, podemos “fatorar” esse escalar para fora do determinante; se somamos colunas, o determinante se soma. Alternância significa que, se duas colunas são iguais, o determinante é zero.

Passo 3

Para provar |c A| = c^k| A|, note que c A multiplica cada uma das k=3 colunas de A por c. Pela multilinearidade, cada coluna escalonada extrai um fator c, totalizando c^3. Logo,
|c A| = c,| A| (primeira coluna) = c^2,| A| (segunda coluna) = c^3,| A| (terceira coluna)

Passo 4

Para provar |AB| = | A|,| B|, observe que a coluna j de AB é A aplicada à coluna bj de B. Assim,
AB = [ A b1,; A b2,; A b3]

Passo 5

Pela multilinearidade em cada coluna e pela propriedade de determinante de um operador linear T:
det(T( v1),dots,T( vn)) = det(T),det( v1,dots, vn),
temos então
det(AB) = det( A),det([ b1, b2, b3]) = det( A),det( B)

Passo 6

Como escalares em R comutam, podemos também escrever |AB| = | B|,| A|.

Resposta

|c\mathbf A| = c^3|\mathbf A| e |\mathbf{AB}| = |\mathbf A|,|\mathbf B|

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