Considere matrizes A e B tais que as inversas existam e as operações sejam possíveis. Prove as seguintes propriedades:
Seja uma matriz qualquer
, para
, mostre que
e que
.
Seja uma matriz qualquer
Passo 1
Temos uma matriz quadrada
de ordem
e queremos provar as duas propriedades típicas do determinante: homogeneidade (
) e multiplicatividade (
). Vamos usar a definição de determinante como função multilinear alternante em colunas e, para o caso
, podemos recorrer também à regra de Sarrus.
Passo 2
Lembrete de teoria: o determinante é multilinear em cada coluna (ou linha) e alternante. Multilinear significa que, se multiplicamos uma coluna por um escalar, podemos “fatorar” esse escalar para fora do determinante; se somamos colunas, o determinante se soma. Alternância significa que, se duas colunas são iguais, o determinante é zero.
Passo 3
Para provar
, note que
multiplica cada uma das
colunas de
por
. Pela multilinearidade, cada coluna escalonada extrai um fator
, totalizando
. Logo,
Passo 4
Para provar
, observe que a coluna
de
é
aplicada à coluna
de
. Assim,
Passo 5
Pela multilinearidade em cada coluna e pela propriedade de determinante de um operador linear
:
temos então
Passo 6
Como escalares em
comutam, podemos também escrever
.
Resposta
|c\mathbf A| = c^3|\mathbf A| e |\mathbf{AB}| = |\mathbf A|,|\mathbf B|