Considere as matrizes A=[rrrr0 & 1 & 1 & 2 1 & 2 & 3 & 4 2 & -1 & 2 & 0 2 & 5 & 7 & 8] e b=[r2 2 -5 4]
c) Resolva o sistema A X=b usando a inversa.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema matricial
A X = b
onde
A = 0 & 1 & 1 & 2 1 & 2 & 3 & 4 2 & -1 & 2 & 0 2 & 5 & 7 & 8 , b = 22-54
A estratégia é usar a fórmula
X = A^-1 b
e obter A^-1 por eliminação de Gauss–Jordan na matriz aumentada [Amid I].

Passo 2

Formamos a matriz aumentada [Amid I]:
[!cccc|cccc 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 5 & 7 & 8 & 0 & 0 & 0 & 1 !]

Passo 3

Primeiro pivô na coluna 1: trocamos R1rightarrow R2 e zeramos abaixo com
R3 R3-2R1, R4 R4-2R1
Fica
[!cccc|cccc 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -5 & -4 & -8 & 0 & -2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 1 !]

Passo 4

Pivô na coluna 2 (em R2): eliminamos a coluna 2 em R1,R3,R4 via
R1 R1-2R2, R3 R3+5R2, R4 R4-R2
Obtemos
[!cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 5 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & -1 & -2 & 0 & 1 !]

Passo 5

Pivô na coluna 3 (em R3): zeramos em R1,R2 com
R1 R1-R3, R2 R2-R3
Fica
[!cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -2 & -7 & 3 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 5 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & -1 & -2 & 0 & 1 !]

Passo 6

Pivô na coluna 4 (em R4): normalizamos R4 e zeramos em R1,R3:
R4 1-2R4, R1 R1+2R4, R3 R3-2R4
Chegamos a
[!cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & -6 & 5 & -1 & -1 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & -4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & tfrac12 & 1 & 0 & -tfrac12 !]
Dessa forma,
A^-1 = -6 & 5 & -1 & -1 -4 & 2 & -1 & 0 4 & -4 & 1 & 1 tfrac12 & 1 & 0 & -tfrac12

Passo 7

Finalmente, calculamos
X = A^-1b = -6 & 5 & -1 & -1 -4 & 2 & -1 & 0 4 & -4 & 1 & 1 tfrac12 & 1 & 0 & -tfrac12 22-54 = -11-11

Resposta

X = -11-11

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